Упр.1275 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что четырёхугольник с центром симметрии — параллелограммС пояснением
Пусть O — центр симметрии четырёхугольника ABCD.1) При центральной симметрии вершина A переходит в противоположную вершину C, а вершина B — в противоположную вершину D.
2) Поэтому O — середина отрезков AC и BD: AO = OC и BO = OD.
3) Значит, диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD точкой пересечения делятся пополам.
4) Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.Ответ: четырёхугольник ABCD является параллелограммом.
Кратко Пусть O — центр симметрии четырёхугольника ABCD. При центральной симметрии A переходит в C, а B — в D, поэтому AO = OC и BO = OD. Следовательно, диагонали AC и BD точкой O делятся пополам, значит, ABCD — параллелограмм.Ответ: четырёхугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.
2) Поэтому O — середина отрезков AC и BD: AO = OC и BO = OD.
3) Значит, диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD точкой пересечения делятся пополам.
4) Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.Ответ: четырёхугольник ABCD является параллелограммом.
Кратко Пусть O — центр симметрии четырёхугольника ABCD. При центральной симметрии A переходит в C, а B — в D, поэтому AO = OC и BO = OD. Следовательно, диагонали AC и BD точкой O делятся пополам, значит, ABCD — параллелограмм.Ответ: четырёхугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать признак арифметической прогрессии сторонС пояснением
Обозначим стороны треугольника ABC через a = BC, b = CA, c = AB, а полупериметр — через s. Пусть I и O — центры вписанной и описанной окружностей.1) Рассмотрим биссектрису угла A. Введём координаты так, чтобы A была началом координат, а биссектриса угла A — осью Ox. Обозначим A/2 = α. Тогда
B(c cos α; c sin α), C(b cos α; −b sin α).2) Точка I лежит на оси Ox. Так как AI = r/sin α и
r = S/s = bc sin A/(2s) = bc sin α cos α/s,
то
xI = bc cos α/s.3) Пусть O(x; y). Из равенств OA = OB и OA = OC получаем:
x cos α + y sin α = c/2,
x cos α − y sin α = b/2.
Сложив равенства, найдём:
xO = (b + c)/(4 cos α).4) Прямая OI перпендикулярна биссектрисе угла A тогда и только тогда, когда xO = xI. Поэтому
(b + c)/(4 cos α) = bc cos α/s,
то есть
s(b + c) = 4bc cos² α.5) По формуле
cos²(A/2) = s(s − a)/(bc)
получаем:
s(b + c) = 4s(s − a).
Так как 2s = a + b + c, то
b + c = 4s − 4a = 2(b + c − a),
следовательно,
2a = b + c.
Значит, a является средним арифметическим сторон b и c, поэтому стороны образуют арифметическую прогрессию.6) Все рассуждения обратимы. Если 2a = b + c, то xO = xI, а значит, OI перпендикулярна биссектрисе угла A. Аналогично рассматриваются биссектрисы углов B и C.Для равностороннего треугольника O = I; через общий центр можно провести прямую, перпендикулярную любой биссектрисе.Ответ: утверждение доказано.
Кратко Пусть a = BC, b = CA, c = AB, s — полупериметр, I и O — центры окружностей. Рассмотрим биссектрису угла A и примем её за ось Ox. Если α = A/2, то
xI = bc cos α/s, xO = (b + c)/(4 cos α).Поэтому OI перпендикулярна биссектрисе угла A тогда и только тогда, когда
bc cos α/s = (b + c)/(4 cos α).Используя cos²(A/2) = s(s − a)/(bc), получаем:
4s(s − a) = s(b + c),
4(s − a) = b + c,
2a = b + c.Следовательно, a — среднее арифметическое b и c. Все преобразования обратимы, поэтому верно и обратное утверждение.Ответ: стороны образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда OI перпендикулярна биссектрисе, проведённой к средней по длине стороне.
B(c cos α; c sin α), C(b cos α; −b sin α).2) Точка I лежит на оси Ox. Так как AI = r/sin α и
r = S/s = bc sin A/(2s) = bc sin α cos α/s,
то
xI = bc cos α/s.3) Пусть O(x; y). Из равенств OA = OB и OA = OC получаем:
x cos α + y sin α = c/2,
x cos α − y sin α = b/2.
Сложив равенства, найдём:
xO = (b + c)/(4 cos α).4) Прямая OI перпендикулярна биссектрисе угла A тогда и только тогда, когда xO = xI. Поэтому
(b + c)/(4 cos α) = bc cos α/s,
то есть
s(b + c) = 4bc cos² α.5) По формуле
cos²(A/2) = s(s − a)/(bc)
получаем:
s(b + c) = 4s(s − a).
Так как 2s = a + b + c, то
b + c = 4s − 4a = 2(b + c − a),
следовательно,
2a = b + c.
Значит, a является средним арифметическим сторон b и c, поэтому стороны образуют арифметическую прогрессию.6) Все рассуждения обратимы. Если 2a = b + c, то xO = xI, а значит, OI перпендикулярна биссектрисе угла A. Аналогично рассматриваются биссектрисы углов B и C.Для равностороннего треугольника O = I; через общий центр можно провести прямую, перпендикулярную любой биссектрисе.Ответ: утверждение доказано.
Кратко Пусть a = BC, b = CA, c = AB, s — полупериметр, I и O — центры окружностей. Рассмотрим биссектрису угла A и примем её за ось Ox. Если α = A/2, то
xI = bc cos α/s, xO = (b + c)/(4 cos α).Поэтому OI перпендикулярна биссектрисе угла A тогда и только тогда, когда
bc cos α/s = (b + c)/(4 cos α).Используя cos²(A/2) = s(s − a)/(bc), получаем:
4s(s − a) = s(b + c),
4(s − a) = b + c,
2a = b + c.Следовательно, a — среднее арифметическое b и c. Все преобразования обратимы, поэтому верно и обратное утверждение.Ответ: стороны образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда OI перпендикулярна биссектрисе, проведённой к средней по длине стороне.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что четырёхугольник, имеющий центр симметрии, является параллелограммом.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей, перпендикулярна к одной из биссектрис треугольника.
