Упр.1277 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Может ли многоугольник иметь два центра симметрии?С пояснением
1) Предположим, что многоугольник имеет два различных центра симметрии O₁ и O₂.
2) Последовательная симметрия сначала относительно O₁, а затем относительно O₂ равносильна параллельному переносу на вектор 2O₁O₂. Поэтому этот перенос отображает многоугольник на себя.
3) Повторяя такой ненулевой перенос, мы получали бы точки многоугольника, удалённые от исходной точки на сколь угодно большое расстояние. Но многоугольник — ограниченная фигура.
Получили противоречие, значит двух различных центров симметрии у многоугольника быть не может.
Ответ: не существует.
Кратко Если бы у многоугольника были два различных центра симметрии, то последовательное выполнение этих симметрий давало бы ненулевой параллельный перенос, отображающий многоугольник на себя. Это невозможно для ограниченной фигуры.
Ответ: не существует.
2) Последовательная симметрия сначала относительно O₁, а затем относительно O₂ равносильна параллельному переносу на вектор 2O₁O₂. Поэтому этот перенос отображает многоугольник на себя.
3) Повторяя такой ненулевой перенос, мы получали бы точки многоугольника, удалённые от исходной точки на сколь угодно большое расстояние. Но многоугольник — ограниченная фигура.
Получили противоречие, значит двух различных центров симметрии у многоугольника быть не может.
Ответ: не существует.
Кратко Если бы у многоугольника были два различных центра симметрии, то последовательное выполнение этих симметрий давало бы ненулевой параллельный перенос, отображающий многоугольник на себя. Это невозможно для ограниченной фигуры.
Ответ: не существует.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти сторону AC по площади NOMBС пояснением
Обозначим BC = a, AB = c, ∠ABC = P.1) Расположим точку B в начале координат, а сторону AB — на оси абсцисс. Тогда
A(c; 0), C(a cos P; a sin P).
Так как CN и AM — высоты, получаем:
N(a cos P; 0),
M(c cos²P; c sin P cos P).2) Центр описанной окружности O лежит на серединном перпендикуляре к AB, поэтому его первая координата равна c/2. Из равенства OB = OC находим:
O(c/2; (a − c cos P)/(2 sin P)).3) Четырёхугольник NOMB состоит из треугольников BON и BOM. По формулам площадей этих треугольников:
S = (a cos P(a − c cos P))/(4 sin P) + (c cos P(c − a cos P))/(4 sin P)
= (cos P(a² + c² − 2ac cos P))/(4 sin P).4) По теореме косинусов:
a² + c² − 2ac cos P = AC².
Значит,
S = AC²/(4 tan P),
AC² = 4S tan P,
AC = 2√(S tan P).Ответ: AC = 2√(S tan P).
Кратко Пусть BC = a, AB = c. Площадь четырёхугольника NOMB равна
S = (a² + c² − 2ac cos P)/(4 tan P).По теореме косинусов a² + c² − 2ac cos P = AC², поэтому
AC² = 4S tan P,
AC = 2√(S tan P).Ответ: 2√(S tan P).
A(c; 0), C(a cos P; a sin P).
Так как CN и AM — высоты, получаем:
N(a cos P; 0),
M(c cos²P; c sin P cos P).2) Центр описанной окружности O лежит на серединном перпендикуляре к AB, поэтому его первая координата равна c/2. Из равенства OB = OC находим:
O(c/2; (a − c cos P)/(2 sin P)).3) Четырёхугольник NOMB состоит из треугольников BON и BOM. По формулам площадей этих треугольников:
S = (a cos P(a − c cos P))/(4 sin P) + (c cos P(c − a cos P))/(4 sin P)
= (cos P(a² + c² − 2ac cos P))/(4 sin P).4) По теореме косинусов:
a² + c² − 2ac cos P = AC².
Значит,
S = AC²/(4 tan P),
AC² = 4S tan P,
AC = 2√(S tan P).Ответ: AC = 2√(S tan P).
Кратко Пусть BC = a, AB = c. Площадь четырёхугольника NOMB равна
S = (a² + c² − 2ac cos P)/(4 tan P).По теореме косинусов a² + c² − 2ac cos P = AC², поэтому
AC² = 4S tan P,
AC = 2√(S tan P).Ответ: 2√(S tan P).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Существует ли многоугольник, имеющий ровно два центра симметрии? Ответ обоснуйте.
Допустим, что многоугольник F имеет ровно два центра симметрии: O_1 и O_2,симметрия сохраняет расстояния, тогда относительно точки O_2 центр симметрии O_1 отображается в точку O_3, также являющуюся центром симметрии, причем все три точки O_1,O_2 и O_3 различны;
Ответ: нет.
Задание учебника 2023 года
В остроугольном треугольнике ABC сторона АВ больше стороны ВС, отрезки AM и CN — высоты треугольника, точка О — центр описанной окружности. Угол ABC равен Р, а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторону АС.
