Упр.1273 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти симметрии правильных многоугольниковС пояснением
1) Правильный пятиугольник имеет 5 осей симметрии. Каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны. Также есть 5 поворотов, совмещающих его с собой: на 0°, 72°, 144°, 216° и 288°.2) Правильный шестиугольник имеет 6 осей симметрии: 3 проходят через пары противоположных вершин, ещё 3 — через середины противоположных сторон. С ним самим его совмещают 6 поворотов: на 0°, 60°, 120°, 180°, 240° и 300°.3) Правильный n-угольник имеет n осей симметрии и n поворотов, совмещающих его с собой. Углы поворота равны 0°, 360°/n, 2·360°/n, …, (n − 1)·360°/n.Если n нечётно, каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны. Если n чётно, половина осей проходит через пары противоположных вершин, а половина — через середины противоположных сторон.Ответ: а) 5 осевых и 5 поворотных симметрий; б) 6 осевых и 6 поворотных симметрий; в) n осевых и n поворотных симметрий.
Кратко а) У правильного пятиугольника 5 осей симметрии; повороты: 0°, 72°, 144°, 216°, 288°.б) У правильного шестиугольника 6 осей симметрии; повороты: 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°.в) У правильного n-угольника n осей симметрии; повороты задаются углами k·360°/n, где k = 0, 1, …, n − 1.Ответ: соответственно 5, 6 и n осевых симметрий и столько же поворотных симметрий.
Кратко а) У правильного пятиугольника 5 осей симметрии; повороты: 0°, 72°, 144°, 216°, 288°.б) У правильного шестиугольника 6 осей симметрии; повороты: 0°, 60°, 120°, 180°, 240°, 300°.в) У правильного n-угольника n осей симметрии; повороты задаются углами k·360°/n, где k = 0, 1, …, n − 1.Ответ: соответственно 5, 6 и n осевых симметрий и столько же поворотных симметрий.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Выразить диагонали через стороны четырёхугольникаС пояснением
Пусть AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = x, BD = y.1) Так как четырёхугольник вписан в окружность, ∠ABC + ∠ADC = 180°, поэтому cos ∠ADC = −cos ∠ABC.2) По теореме косинусов для треугольников ABC и ADC:
x² = a² + b² − 2ab cos ∠ABC,
x² = c² + d² + 2cd cos ∠ABC.Исключая cos ∠ABC, получаем:
x² = ((ac + bd)(ad + bc))/(ab + cd).Следовательно,
AC = √((ac + bd)(ad + bc)/(ab + cd)).3) Аналогично, рассматривая треугольники ABD и BCD, получаем:
BD = √((ac + bd)(ab + cd)/(ad + bc)).Ответ: AC = √((ac + bd)(ad + bc)/(ab + cd)); BD = √((ac + bd)(ab + cd)/(ad + bc)).
Кратко Пусть AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Тогда диагонали вписанного четырёхугольника равны:AC = √((ac + bd)(ad + bc)/(ab + cd)),
BD = √((ac + bd)(ab + cd)/(ad + bc)).Ответ: AC = √((ac + bd)(ad + bc)/(ab + cd)); BD = √((ac + bd)(ab + cd)/(ad + bc)).
x² = a² + b² − 2ab cos ∠ABC,
x² = c² + d² + 2cd cos ∠ABC.Исключая cos ∠ABC, получаем:
x² = ((ac + bd)(ad + bc))/(ab + cd).Следовательно,
AC = √((ac + bd)(ad + bc)/(ab + cd)).3) Аналогично, рассматривая треугольники ABD и BCD, получаем:
BD = √((ac + bd)(ab + cd)/(ad + bc)).Ответ: AC = √((ac + bd)(ad + bc)/(ab + cd)); BD = √((ac + bd)(ab + cd)/(ad + bc)).
Кратко Пусть AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Тогда диагонали вписанного четырёхугольника равны:AC = √((ac + bd)(ad + bc)/(ab + cd)),
BD = √((ac + bd)(ab + cd)/(ad + bc)).Ответ: AC = √((ac + bd)(ad + bc)/(ab + cd)); BD = √((ac + bd)(ab + cd)/(ad + bc)).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Найдите симметрии а) правильного пятиугольника; б) правильного шестиугольника; в) правильного n-угольника.
Найти симметрии:
а) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии, проходящих через вершину и середину противоположной стороны, а также две поворотные симметрии вокруг его центра на 72° по часовой и против часовой стрелки;
б) Правильный шестиугольник имеет три оси симметрии, проходящие через его противоположные вершины, три оси симметрии, проходящие через середины противоположных сторон, а также две поворотные симметрии вокруг центра на 60° по часовой стрелке и против часовой стрелки, его центр также является центром симметрии;
в) Правильный n-угольник имеет n осей симметрии, как в пункте а) при нечетном n и как в пункте б) при четном значении n, помимо этого при четном n он имеет центр симметрии и две поворотные симметрии вокруг него на 360°/n по часовой и против часовой стрелки.
Задание учебника 2023 года
Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхугольника через его стороны
