Упр.1274 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Варианты решения:
Пример многоугольника без симметрийС пояснением
1) Построим треугольник ABC со сторонами AB = 4 см, BC = 5 см, AC = 6 см.
2) Все его стороны имеют разную длину, поэтому у треугольника нет осей симметрии.
3) Такой треугольник также не имеет поворотной симметрии на угол, отличный от 360°.
Ответ: разносторонний треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см.
Кратко Например, треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см. Он разносторонний, поэтому не имеет симметрий.
Ответ: треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см.
2) Все его стороны имеют разную длину, поэтому у треугольника нет осей симметрии.
3) Такой треугольник также не имеет поворотной симметрии на угол, отличный от 360°.
Ответ: разносторонний треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см.
Кратко Например, треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см. Он разносторонний, поэтому не имеет симметрий.
Ответ: треугольник со сторонами 4 см, 5 см и 6 см.
Пример многоугольника без симметрийНапример, четырёхугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см и 5 см. Все его стороны имеют разную длину, поэтому он не имеет осей и центра симметрии.
Ответ: четырёхугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см и 5 см.
Ответ: четырёхугольник со сторонами 2 см, 3 см, 4 см и 5 см.
Пример многоугольника без симметрийНапример, прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см. Его катеты не равны, поэтому он не имеет оси симметрии; центра симметрии у треугольника также нет.
Ответ: прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см.
Ответ: прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать формулу площади вписанного четырёхугольникаС пояснением
Пусть ABCD — вписанный четырёхугольник, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, ∠ABC = β.1) Противоположные углы вписанного четырёхугольника дополняют друг друга до 180°:
∠ADC = 180° − β, поэтому sin ∠ADC = sin β.2) Диагональ AC делит четырёхугольник на два треугольника. Тогда
S = SABC + SACD = 1/2 ab sin β + 1/2 cd sin(180° − β) = 1/2(ab + cd) sin β.3) По теореме косинусов для треугольников ABC и ADC:
AC² = a² + b² − 2ab cos β,
AC² = c² + d² − 2cd cos(180° − β) = c² + d² + 2cd cos β.Следовательно,
cos β = (a² + b² − c² − d²)/(2(ab + cd)).4) Используем равенство sin²β = 1 − cos²β:
16S² = 4(ab + cd)² sin²β
= 4(ab + cd)² − (a² + b² − c² − d²)².5) Разложим разность квадратов:
16S² = [2(ab + cd) − (a² + b² − c² − d²)] · [2(ab + cd) + (a² + b² − c² − d²)]
= [(c + d)² − (a − b)²] · [(a + b)² − (c − d)²]
= (−a + b + c + d)(a − b + c + d)(a + b − c + d)(a + b + c − d).Так как 2p = a + b + c + d, получаем
16S² = 16(p − a)(p − b)(p − c)(p − d).Площадь положительна, поэтому
S = √((p − a)(p − b)(p − c)(p − d)).Ответ: S = √((p − a)(p − b)(p − c)(p − d)).
Кратко Пусть ∠ABC = β. Тогда ∠ADC = 180° − β, поэтому
S = 1/2(ab + cd) sin β.По теореме косинусов для треугольников ABC и ADC:
a² + b² − 2ab cos β = c² + d² + 2cd cos β,
откуда
cos β = (a² + b² − c² − d²)/(2(ab + cd)).Следовательно,
16S² = 4(ab + cd)² − (a² + b² − c² − d²)²
= (−a + b + c + d)(a − b + c + d)(a + b − c + d)(a + b + c − d)
= 16(p − a)(p − b)(p − c)(p − d).Ответ: S = √((p − a)(p − b)(p − c)(p − d)).
∠ADC = 180° − β, поэтому sin ∠ADC = sin β.2) Диагональ AC делит четырёхугольник на два треугольника. Тогда
S = SABC + SACD = 1/2 ab sin β + 1/2 cd sin(180° − β) = 1/2(ab + cd) sin β.3) По теореме косинусов для треугольников ABC и ADC:
AC² = a² + b² − 2ab cos β,
AC² = c² + d² − 2cd cos(180° − β) = c² + d² + 2cd cos β.Следовательно,
cos β = (a² + b² − c² − d²)/(2(ab + cd)).4) Используем равенство sin²β = 1 − cos²β:
16S² = 4(ab + cd)² sin²β
= 4(ab + cd)² − (a² + b² − c² − d²)².5) Разложим разность квадратов:
16S² = [2(ab + cd) − (a² + b² − c² − d²)] · [2(ab + cd) + (a² + b² − c² − d²)]
= [(c + d)² − (a − b)²] · [(a + b)² − (c − d)²]
= (−a + b + c + d)(a − b + c + d)(a + b − c + d)(a + b + c − d).Так как 2p = a + b + c + d, получаем
16S² = 16(p − a)(p − b)(p − c)(p − d).Площадь положительна, поэтому
S = √((p − a)(p − b)(p − c)(p − d)).Ответ: S = √((p − a)(p − b)(p − c)(p − d)).
Кратко Пусть ∠ABC = β. Тогда ∠ADC = 180° − β, поэтому
S = 1/2(ab + cd) sin β.По теореме косинусов для треугольников ABC и ADC:
a² + b² − 2ab cos β = c² + d² + 2cd cos β,
откуда
cos β = (a² + b² − c² − d²)/(2(ab + cd)).Следовательно,
16S² = 4(ab + cd)² − (a² + b² − c² − d²)²
= (−a + b + c + d)(a − b + c + d)(a + b − c + d)(a + b + c − d)
= 16(p − a)(p − b)(p − c)(p − d).Ответ: S = √((p − a)(p − b)(p − c)(p − d)).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Приведите пример многоугольника, не имеющего симметрий.
Например, не имеет симметрий тот многоугольник, все стороны которого различны, так как ни одна из сторон не может отображаться на другую сторону.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, может быть вычислена по формуле S = корень(p -a)(p -b)(p -c)(p-d), где р — полупериметр, а, b, с, d — стороны четырёхугольника.
