Упр.1270 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить центр поворота для равных отрезковС пояснением
Обозначим данные равные отрезки AB и CD.а) Если AB ∥ CD, сопоставим A с D, а B с C. Соединим A и D. Середина O отрезка AD будет искомым центром. Она одновременно является серединой BC. Поворот на 180° вокруг O переводит A в D, B в C, а отрезок AB — в отрезок DC.б) Если отрезки не параллельны, выберем соответствие концов, например A → C и B → D. Проведём серединные перпендикуляры к отрезкам AC и BD. Точка их пересечения O — центр поворота, так как OA = OC и OB = OD. Если эти перпендикуляры не пересекаются, используем другое соответствие: A → D и B → C.Ответ: а) O — середина AD (и BC); б) O — точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам, соединяющим соответствующие концы.
Кратко Пусть даны равные отрезки AB и CD.а) При AB ∥ CD точка O — середина отрезка AD; она же является серединой BC. Поворот на 180° переводит AB в DC.б) Проведём серединные перпендикуляры к AC и BD. Их точка пересечения O — искомый центр. Если они параллельны, строим серединные перпендикуляры к AD и BC.Ответ: а) середина AD; б) пересечение серединных перпендикуляров, построенных для подходящего соответствия концов.
Кратко Пусть даны равные отрезки AB и CD.а) При AB ∥ CD точка O — середина отрезка AD; она же является серединой BC. Поворот на 180° переводит AB в DC.б) Проведём серединные перпендикуляры к AC и BD. Их точка пересечения O — искомый центр. Если они параллельны, строим серединные перпендикуляры к AD и BC.Ответ: а) середина AD; б) пересечение серединных перпендикуляров, построенных для подходящего соответствия концов.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что AD ∥ BCС пояснением
1) Обозначим площади треугольников через S с соответствующими индексами. По условию:
S_ODC² = S_OBC · S_OAD,
поэтому
S_ODC / S_OBC = S_OAD / S_ODC.2) Треугольники ODC и OBC имеют общую высоту, проведённую из точки C к прямой BD, поэтому их площади относятся как основания:
S_ODC / S_OBC = OD / OB.3) Треугольники OAD и ODC имеют общую высоту, проведённую из точки D к прямой AC, поэтому:
S_OAD / S_ODC = OA / OC.Следовательно,
OD / OB = OA / OC.4) Углы AOD и COB равны как вертикальные. Значит, треугольники AOD и COB подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.5) Из подобия следует, что ∠ADO = ∠CBO. Эти углы являются накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей BD, поэтому AD ∥ BC.Таким образом, если AB не параллельна CD, то ABCD — трапеция с основаниями AD и BC. Если же AB ∥ CD, то ABCD — параллелограмм.Ответ: ABCD — трапеция с основаниями AD и BC или параллелограмм.
Кратко По условию S_ODC² = S_OBC · S_OAD, откуда
S_ODC / S_OBC = S_OAD / S_ODC.Так как соответствующие пары треугольников имеют общие высоты,
S_ODC / S_OBC = OD / OB,
S_OAD / S_ODC = OA / OC.Значит, OD / OB = OA / OC. Углы AOD и COB вертикальные, поэтому △AOD ∼ △COB. Отсюда ∠ADO = ∠CBO, следовательно, AD ∥ BC.Если AB ∦ CD, четырёхугольник является трапецией с основаниями AD и BC; если AB ∥ CD — параллелограммом.Ответ: ABCD — трапеция с основаниями AD и BC или параллелограмм.
S_ODC² = S_OBC · S_OAD,
поэтому
S_ODC / S_OBC = S_OAD / S_ODC.2) Треугольники ODC и OBC имеют общую высоту, проведённую из точки C к прямой BD, поэтому их площади относятся как основания:
S_ODC / S_OBC = OD / OB.3) Треугольники OAD и ODC имеют общую высоту, проведённую из точки D к прямой AC, поэтому:
S_OAD / S_ODC = OA / OC.Следовательно,
OD / OB = OA / OC.4) Углы AOD и COB равны как вертикальные. Значит, треугольники AOD и COB подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.5) Из подобия следует, что ∠ADO = ∠CBO. Эти углы являются накрест лежащими при прямых AD и BC и секущей BD, поэтому AD ∥ BC.Таким образом, если AB не параллельна CD, то ABCD — трапеция с основаниями AD и BC. Если же AB ∥ CD, то ABCD — параллелограмм.Ответ: ABCD — трапеция с основаниями AD и BC или параллелограмм.
Кратко По условию S_ODC² = S_OBC · S_OAD, откуда
S_ODC / S_OBC = S_OAD / S_ODC.Так как соответствующие пары треугольников имеют общие высоты,
S_ODC / S_OBC = OD / OB,
S_OAD / S_ODC = OA / OC.Значит, OD / OB = OA / OC. Углы AOD и COB вертикальные, поэтому △AOD ∼ △COB. Отсюда ∠ADO = ∠CBO, следовательно, AD ∥ BC.Если AB ∦ CD, четырёхугольник является трапецией с основаниями AD и BC; если AB ∥ CD — параллелограммом.Ответ: ABCD — трапеция с основаниями AD и BC или параллелограмм.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны два равных и а) параллельных; б) не параллельных отрезка. Постройте центр O поворота, при котором один отрезок отображается на другой.
а) 1) Соединим отрезками точки A и A_1,точки B и B_1;
2) Отметим точку O на пересечении этих отрезков;
3) Точка O является искомым центром поворота;
б) 1) Соединим отрезками точки A и A_1,а также B и B_1;
2) Построим к AA_1 и BB_1 серединные перпендикуляры;
3) Отметим точку O на пересечении перпендикуляров;
4) Точка O является искомым центром поворота.
Задание учебника 2023 года
Диагонали АС и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке О. Площадь треугольника ODC есть среднее пропорциональное между площадями треугольников ОВС и OAD. Докажите, что ABCD — трапеция с основаниями AD и ВС или параллелограмм.
