Упр.1269 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать утверждение об угле между прямымиС пояснением
1) Проведём через центр поворота O прямую b, параллельную a. При данном повороте она перейдёт в прямую b₁, проходящую через O и параллельную a₁.
2) Выберем на b луч OX. При повороте он перейдёт в луч OX₁, лежащий на b₁. Если угол поворота равен α, то ∠XOX₁ = α.
3) При пересечении прямых b и b₁ образуются углы α и 180° − α. Так как a ∥ b и a₁ ∥ b₁, угол между прямыми a и a₁ равен одному из этих углов.
Ответ: угол между прямыми a и a₁ либо равен углу поворота α, либо равен 180° − α, то есть дополняет его до 180°.
Кратко Проведём через O прямую b ∥ a. После поворота она перейдёт в прямую b₁ ∥ a₁. Если угол поворота равен α, то один из углов между b и b₁ равен α, а смежный с ним — 180° − α. Углы между соответственно параллельными прямыми a, a₁ и b, b₁ равны.
Ответ: угол между a и a₁ равен α или 180° − α.
2) Выберем на b луч OX. При повороте он перейдёт в луч OX₁, лежащий на b₁. Если угол поворота равен α, то ∠XOX₁ = α.
3) При пересечении прямых b и b₁ образуются углы α и 180° − α. Так как a ∥ b и a₁ ∥ b₁, угол между прямыми a и a₁ равен одному из этих углов.
Ответ: угол между прямыми a и a₁ либо равен углу поворота α, либо равен 180° − α, то есть дополняет его до 180°.
Кратко Проведём через O прямую b ∥ a. После поворота она перейдёт в прямую b₁ ∥ a₁. Если угол поворота равен α, то один из углов между b и b₁ равен α, а смежный с ним — 180° − α. Углы между соответственно параллельными прямыми a, a₁ и b, b₁ равны.
Ответ: угол между a и a₁ равен α или 180° − α.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Докажите, что ∠AMB = 45°С пояснением
1) Введём координаты, приняв MN = 6: M(0; 0), N(6; 0), P(6; 6), Q(0; 6).Так как A — середина NP, то A(6; 3). Поскольку QB = 2, то B(2; 6).2) Найдём координаты векторов:
MA = (6; 3), MB = (2; 6).Их скалярное произведение:
MA · MB = 6 · 2 + 3 · 6 = 30.3) Найдём длины векторов:
|MA| = √(6² + 3²) = 3√5,
|MB| = √(2² + 6²) = 2√10.4) По формуле скалярного произведения:
cos ∠AMB = 30/(3√5 · 2√10) = 30/(30√2) = √2/2.Следовательно, ∠AMB = 45°.Ответ: ∠AMB = 45°.
Кратко Примем MN = 6 и зададим координаты: M(0; 0), N(6; 0), P(6; 6), Q(0; 6). Тогда A(6; 3), B(2; 6).MA = (6; 3), MB = (2; 6),
cos ∠AMB = (6 · 2 + 3 · 6)/(√45 · √40) = 30/(30√2) = √2/2.Значит, ∠AMB = 45°.Ответ: 45°.
MA = (6; 3), MB = (2; 6).Их скалярное произведение:
MA · MB = 6 · 2 + 3 · 6 = 30.3) Найдём длины векторов:
|MA| = √(6² + 3²) = 3√5,
|MB| = √(2² + 6²) = 2√10.4) По формуле скалярного произведения:
cos ∠AMB = 30/(3√5 · 2√10) = 30/(30√2) = √2/2.Следовательно, ∠AMB = 45°.Ответ: ∠AMB = 45°.
Кратко Примем MN = 6 и зададим координаты: M(0; 0), N(6; 0), P(6; 6), Q(0; 6). Тогда A(6; 3), B(2; 6).MA = (6; 3), MB = (2; 6),
cos ∠AMB = (6 · 2 + 3 · 6)/(√45 · √40) = 30/(30√2) = √2/2.Значит, ∠AMB = 45°.Ответ: 45°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Если при повороте вокруг точки О на некоторый угол прямая а переходит в прямую a_1, то угол между прямыми а и a_1 либо равен углу поворота, либо дополняет его до 180°. Докажите.
Задание учебника 2023 года
На сторонах квадрата MNPQ взяты точки А и В так, что NA = 1/2MN, QB = 1/3MN (рис. 369). Докажите, что угол AMB = 45°.
