Упр.1268 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить образ прямой при повороте на 60°С пояснением
а) Прямая a не проходит через точку O.
1) Отметим на прямой a две произвольные точки A и B.
2) Построим точки A₁ и B₁ так, чтобы OA₁ = OA, OB₁ = OB и направленные углы AOA₁ и BOB₁ были равны 60° по часовой стрелке.
3) Проведём прямую A₁B₁. Это искомая прямая a₁.б) Прямая a проходит через точку O.
1) Отметим на прямой a произвольную точку A, отличную от O.
2) Построим точку A₁ так, чтобы OA₁ = OA и угол AOA₁ был равен 60° по часовой стрелке.
3) Проведём прямую OA₁. Это искомая прямая a₁, так как при повороте точка O остаётся на месте.Ответ: а) a₁ = A₁B₁; б) a₁ = OA₁.
Кратко а) Возьмём на прямой a точки A и B, повернём их вокруг O на 60° по часовой стрелке и получим A₁ и B₁. Проведём прямую A₁B₁.б) Возьмём A ∈ a, A ≠ O, и повернём её вокруг O на 60° по часовой стрелке в точку A₁. Проведём прямую OA₁.Ответ: а) a₁ = A₁B₁; б) a₁ = OA₁.
1) Отметим на прямой a две произвольные точки A и B.
2) Построим точки A₁ и B₁ так, чтобы OA₁ = OA, OB₁ = OB и направленные углы AOA₁ и BOB₁ были равны 60° по часовой стрелке.
3) Проведём прямую A₁B₁. Это искомая прямая a₁.б) Прямая a проходит через точку O.
1) Отметим на прямой a произвольную точку A, отличную от O.
2) Построим точку A₁ так, чтобы OA₁ = OA и угол AOA₁ был равен 60° по часовой стрелке.
3) Проведём прямую OA₁. Это искомая прямая a₁, так как при повороте точка O остаётся на месте.Ответ: а) a₁ = A₁B₁; б) a₁ = OA₁.
Кратко а) Возьмём на прямой a точки A и B, повернём их вокруг O на 60° по часовой стрелке и получим A₁ и B₁. Проведём прямую A₁B₁.б) Возьмём A ∈ a, A ≠ O, и повернём её вокруг O на 60° по часовой стрелке в точку A₁. Проведём прямую OA₁.Ответ: а) a₁ = A₁B₁; б) a₁ = OA₁.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать свойства окружности АполлонияС пояснением
Пусть A и B — различные точки, AB = a. Введём координаты: A(0; 0), B(a; 0), M(x; y).1) Условие AM = kBM после возведения в квадрат принимает вид
x² + y² = k²((x − a)² + y²).
После преобразования получаем
(x − k²a/(k² − 1))² + y² = k²a²/(k² − 1)².
Так как k > 0 и k ≠ 1, это уравнение окружности с центром
C(k²a/(k² − 1); 0)
и радиусом
r = ka/|k² − 1|.
Следовательно, множество всех точек M, для которых AM = kBM, является окружностью Аполлония.2) Рассмотрим любую окружность, проходящую через A и B. Её центр O лежит на серединном перпендикуляре к AB, поэтому O(a/2; t). Её радиус R удовлетворяет равенству
R² = OA² = a²/4 + t².Для центров двух окружностей имеем
OC² = (k²a/(k² − 1) − a/2)² + t²
= a²(k² + 1)²/(4(k² − 1)²) + t².
При этом
OC² − R² = a²k²/(k² − 1)² = r²,
то есть
OC² = R² + r².
Отсюда |R − r| < OC < R + r, поэтому окружности пересекаются.3) Пусть M — одна из точек их пересечения. Тогда OM = R, CM = r, а потому
OC² = OM² + CM².
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник OMC прямоугольный и ∠OMC = 90°. Значит, радиусы OM и CM, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.Ответ: множество точек M — окружность Аполлония; она пересекает любую окружность, проходящую через A и B, под прямым углом.
Кратко Пусть A(0; 0), B(a; 0), M(x; y). Тогда
AM = kBM ⇔ x² + y² = k²((x − a)² + y²),
откуда
(x − k²a/(k² − 1))² + y² = k²a²/(k² − 1)².
Это окружность с центром C(k²a/(k² − 1); 0) и радиусом r = ka/|k² − 1|.Если окружность проходит через A и B, то её центр имеет вид O(a/2; t), а R² = a²/4 + t². Вычисление даёт
OC² = R² + r².
Поэтому окружности пересекаются, а для точки пересечения M выполняется
OC² = OM² + CM².
Следовательно, ∠OMC = 90°, то есть OM ⟂ CM.Ответ: множество точек M является окружностью Аполлония, которая пересекает любую окружность через A и B под прямым углом.
x² + y² = k²((x − a)² + y²).
После преобразования получаем
(x − k²a/(k² − 1))² + y² = k²a²/(k² − 1)².
Так как k > 0 и k ≠ 1, это уравнение окружности с центром
C(k²a/(k² − 1); 0)
и радиусом
r = ka/|k² − 1|.
Следовательно, множество всех точек M, для которых AM = kBM, является окружностью Аполлония.2) Рассмотрим любую окружность, проходящую через A и B. Её центр O лежит на серединном перпендикуляре к AB, поэтому O(a/2; t). Её радиус R удовлетворяет равенству
R² = OA² = a²/4 + t².Для центров двух окружностей имеем
OC² = (k²a/(k² − 1) − a/2)² + t²
= a²(k² + 1)²/(4(k² − 1)²) + t².
При этом
OC² − R² = a²k²/(k² − 1)² = r²,
то есть
OC² = R² + r².
Отсюда |R − r| < OC < R + r, поэтому окружности пересекаются.3) Пусть M — одна из точек их пересечения. Тогда OM = R, CM = r, а потому
OC² = OM² + CM².
По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник OMC прямоугольный и ∠OMC = 90°. Значит, радиусы OM и CM, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.Ответ: множество точек M — окружность Аполлония; она пересекает любую окружность, проходящую через A и B, под прямым углом.
Кратко Пусть A(0; 0), B(a; 0), M(x; y). Тогда
AM = kBM ⇔ x² + y² = k²((x − a)² + y²),
откуда
(x − k²a/(k² − 1))² + y² = k²a²/(k² − 1)².
Это окружность с центром C(k²a/(k² − 1); 0) и радиусом r = ka/|k² − 1|.Если окружность проходит через A и B, то её центр имеет вид O(a/2; t), а R² = a²/4 + t². Вычисление даёт
OC² = R² + r².
Поэтому окружности пересекаются, а для точки пересечения M выполняется
OC² = OM² + CM².
Следовательно, ∠OMC = 90°, то есть OM ⟂ CM.Ответ: множество точек M является окружностью Аполлония, которая пересекает любую окружность через A и B под прямым углом.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Постройте прямую а1, которая получается из данной прямой а поворотом вокруг точки О на угол 60° по часовой стрелке, если прямая а: а) не проходит через точку О; б) проходит через точку О.
Задание учебника 2023 года
Пусть А и В — данные точки, k — данное положительное число, не равное 1. а) Докажите, что множество всех точек М, удовлетворяющих условию AM = kBM, есть окружность (окружность Аполлония). б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки А и В, так, что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.
