Упр.1069 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти множество точек, для которых XA = 2XBС пояснением
Пусть A и B — различные точки, AB = a. Введём координаты: A(0; 0), B(a; 0), X(x; y).1) По условию XA = 2XB, поэтому
x² + y² = 4((x − a)² + y²).2) После преобразования получаем:
(x − 4a/3)² + y² = (2a/3)².
Это уравнение окружности с центром O на прямой AB, причём AO = 4a/3, и радиусом R = 2a/3.3) Окружность пересекает прямую AB в точках C и D: точка C делит отрезок AB так, что AC : CB = 2 : 1, а точка D лежит за B и удовлетворяет AD = 2BD. Отрезок CD является диаметром искомой окружности.Ответ: окружность с центром O на продолжении AB за точку B, где AO = 4AB/3, и радиусом 2AB/3.
Кратко Обозначим через C точку отрезка AB, для которой AC : CB = 2 : 1, а через D — точку на продолжении AB за B, для которой AD = 2BD. Тогда множество искомых точек — окружность с диаметром CD.Ответ: окружность с центром на продолжении AB за точку B и радиусом 2AB/3.
x² + y² = 4((x − a)² + y²).2) После преобразования получаем:
(x − 4a/3)² + y² = (2a/3)².
Это уравнение окружности с центром O на прямой AB, причём AO = 4a/3, и радиусом R = 2a/3.3) Окружность пересекает прямую AB в точках C и D: точка C делит отрезок AB так, что AC : CB = 2 : 1, а точка D лежит за B и удовлетворяет AD = 2BD. Отрезок CD является диаметром искомой окружности.Ответ: окружность с центром O на продолжении AB за точку B, где AO = 4AB/3, и радиусом 2AB/3.
Кратко Обозначим через C точку отрезка AB, для которой AC : CB = 2 : 1, а через D — точку на продолжении AB за B, для которой AD = 2BD. Тогда множество искомых точек — окружность с диаметром CD.Ответ: окружность с центром на продолжении AB за точку B и радиусом 2AB/3.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти угол между медианамиС пояснением
Пусть прямой угол треугольника ABC находится при C, а AC = BC = a. Введём координаты: C(0; 0), A(a; 0), B(0; a).1) Пусть D и E — середины BC и AC. Тогда D(0; a/2), E(a/2; 0).2) Направляющие векторы медиан AD и BE:
AD = (−a; a/2), BE = (a/2; −a).3) Их скалярное произведение:
AD · BE = −a²/2 − a²/2 = −a².
Длины векторов равны a√5/2. Поэтому косинус тупого угла между ними равен −4/5, а косинус искомого острого угла равен 4/5.Следовательно, угол равен arccos(4/5) ≈ 36°52′.Ответ: arccos(4/5), приблизительно 36°52′.
Кратко Пусть катеты лежат на координатных осях и равны a. Направляющие векторы медиан можно взять равными (−a; a/2) и (a/2; −a). Косинус острого угла между медианами равен 4/5.Ответ: arccos(4/5) ≈ 36°52′.
AD = (−a; a/2), BE = (a/2; −a).3) Их скалярное произведение:
AD · BE = −a²/2 − a²/2 = −a².
Длины векторов равны a√5/2. Поэтому косинус тупого угла между ними равен −4/5, а косинус искомого острого угла равен 4/5.Следовательно, угол равен arccos(4/5) ≈ 36°52′.Ответ: arccos(4/5), приблизительно 36°52′.
Кратко Пусть катеты лежат на координатных осях и равны a. Направляющие векторы медиан можно взять равными (−a; a/2) и (a/2; −a). Косинус острого угла между медианами равен 4/5.Ответ: arccos(4/5) ≈ 36°52′.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В.
Задание учебника 2023 года
В прямоугольном равнобедренном треугольнике проведены медианы из вершин острых углов. Найдите острый угол между этими медианами.
