Упр.1072 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти множество точек MС пояснением
Пусть O — середина отрезка AB, а H — основание перпендикуляра, опущенного из M на прямую AB. Положительное направление на прямой AB выберем от O к B.1) По теореме Пифагора:
AM² = MH² + AH²,
BM² = MH² + BH².
Следовательно,
AM² − BM² = AH² − BH².2) С учётом направленного отрезка OH имеем:
AH² − BH² = (AO + OH)² − (BO − OH)² = 2AB · OH,
так как AO = BO = AB/2.3) Поэтому условие равносильно равенству
OH = k/(2AB).
Значит, точка H фиксирована, а точка M может находиться на любой высоте над прямой AB.Ответ: прямая, перпендикулярная AB и проходящая через точку H прямой AB, для которой направленный отрезок OH = k/(2AB). Эта прямая параллельна серединному перпендикуляру к AB; при k > 0 она расположена со стороны B, при k < 0 — со стороны A, а при k = 0 совпадает с серединным перпендикуляром.
Кратко Пусть O — середина AB. На прямой AB отметим точку H так, чтобы направленный отрезок
OH = k/(2AB),
где направление от O к B считается положительным.Ответ: множество точек M — прямая, проходящая через H перпендикулярно AB. При k = 0 это серединный перпендикуляр к AB.
AM² = MH² + AH²,
BM² = MH² + BH².
Следовательно,
AM² − BM² = AH² − BH².2) С учётом направленного отрезка OH имеем:
AH² − BH² = (AO + OH)² − (BO − OH)² = 2AB · OH,
так как AO = BO = AB/2.3) Поэтому условие равносильно равенству
OH = k/(2AB).
Значит, точка H фиксирована, а точка M может находиться на любой высоте над прямой AB.Ответ: прямая, перпендикулярная AB и проходящая через точку H прямой AB, для которой направленный отрезок OH = k/(2AB). Эта прямая параллельна серединному перпендикуляру к AB; при k > 0 она расположена со стороны B, при k < 0 — со стороны A, а при k = 0 совпадает с серединным перпендикуляром.
Кратко Пусть O — середина AB. На прямой AB отметим точку H так, чтобы направленный отрезок
OH = k/(2AB),
где направление от O к B считается положительным.Ответ: множество точек M — прямая, проходящая через H перпендикулярно AB. При k = 0 это серединный перпендикуляр к AB.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти площадь ромба MNPQС пояснением
Обозначим сторону ромба через x. Будем считать, что ∠NMQ = 4α, а FQ = a.1) Диагональ MP делит угол ромба пополам, поэтому:
∠PMQ = 2α.2) В треугольнике MPQ стороны MQ и PQ равны, поэтому углы при основании MP равны:
∠QMP = ∠MPQ = 2α.
Опустив высоту из Q на MP, получим:
MP = 2x cos 2α.3) По теореме о биссектрисе треугольника MPQ:
PF : FQ = MP : MQ.
Следовательно,
PF/a = 2x cos 2α/x = 2 cos 2α,
PF = 2a cos 2α.4) Сторона ромба:
x = PQ = PF + FQ = 2a cos 2α + a = a(1 + 2 cos 2α).5) Площадь ромба равна произведению квадратов стороны на синус угла между сторонами:
S = x² sin 4α = a²(1 + 2 cos 2α)² sin 4α.Ответ: a²(1 + 2 cos 2α)² sin 4α.
Кратко Пусть ∠NMQ = 4α, FQ = a. Так как MP — диагональ ромба, ∠PMQ = 2α. В равнобедренном треугольнике MPQ имеем MP/MQ = 2 cos 2α.По теореме о биссектрисе:
PF/FQ = MP/MQ = 2 cos 2α,
поэтому PF = 2a cos 2α.PQ = PF + FQ = a(1 + 2 cos 2α).S = PQ² sin 4α = a²(1 + 2 cos 2α)² sin 4α.Ответ: a²(1 + 2 cos 2α)² sin 4α.
∠PMQ = 2α.2) В треугольнике MPQ стороны MQ и PQ равны, поэтому углы при основании MP равны:
∠QMP = ∠MPQ = 2α.
Опустив высоту из Q на MP, получим:
MP = 2x cos 2α.3) По теореме о биссектрисе треугольника MPQ:
PF : FQ = MP : MQ.
Следовательно,
PF/a = 2x cos 2α/x = 2 cos 2α,
PF = 2a cos 2α.4) Сторона ромба:
x = PQ = PF + FQ = 2a cos 2α + a = a(1 + 2 cos 2α).5) Площадь ромба равна произведению квадратов стороны на синус угла между сторонами:
S = x² sin 4α = a²(1 + 2 cos 2α)² sin 4α.Ответ: a²(1 + 2 cos 2α)² sin 4α.
Кратко Пусть ∠NMQ = 4α, FQ = a. Так как MP — диагональ ромба, ∠PMQ = 2α. В равнобедренном треугольнике MPQ имеем MP/MQ = 2 cos 2α.По теореме о биссектрисе:
PF/FQ = MP/MQ = 2 cos 2α,
поэтому PF = 2a cos 2α.PQ = PF + FQ = a(1 + 2 cos 2α).S = PQ² sin 4α = a²(1 + 2 cos 2α)² sin 4α.Ответ: a²(1 + 2 cos 2α)² sin 4α.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Даны две точки А и В. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 - ВМ2 = k, где k — данное число.
Задание учебника 2023 года
Дан ромб MNPQ. Отрезок MF — биссектриса треугольника MPQ, угол NMQ = 4а, FQ = a. Найдите площадь данного ромба.
