Упр.1074 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти множество точек MС пояснением
1) Введём прямоугольную систему координат: A(0; 0), B(a; 0), D(0; b), C(a; b), M(x; y), где a = AB.2) По формуле расстояния:
AM² = x² + y²,
DM² = x² + (y − b)²,
BM² = (x − a)² + y²,
CM² = (x − a)² + (y − b)².3) Подставим эти выражения в условие:
(AM² + DM²) − (BM² + CM²) =
= 2x² − 2(x − a)² = 4ax − 2a².4) По условию 4ax − 2a² = 2a², откуда x = a.Уравнение x = a задаёт прямую, содержащую сторону BC. Все точки этой прямой удовлетворяют условию.Ответ: прямая BC.
Кратко Пусть A(0; 0), B(a; 0), C(a; b), D(0; b), M(x; y). Тогда
(AM² + DM²) − (BM² + CM²) = 4ax − 2a².Из условия:
4ax − 2a² = 2a²,
x = a.Ответ: прямая BC.
AM² = x² + y²,
DM² = x² + (y − b)²,
BM² = (x − a)² + y²,
CM² = (x − a)² + (y − b)².3) Подставим эти выражения в условие:
(AM² + DM²) − (BM² + CM²) =
= 2x² − 2(x − a)² = 4ax − 2a².4) По условию 4ax − 2a² = 2a², откуда x = a.Уравнение x = a задаёт прямую, содержащую сторону BC. Все точки этой прямой удовлетворяют условию.Ответ: прямая BC.
Кратко Пусть A(0; 0), B(a; 0), C(a; b), D(0; b), M(x; y). Тогда
(AM² + DM²) − (BM² + CM²) = 4ax − 2a².Из условия:
4ax − 2a² = 2a²,
x = a.Ответ: прямая BC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство для медианы отношения BM : MCС пояснением
1) Так как BM = kMC, то BC = BM + MC = (k + 1)MC, поэтому
BM/BC = k/(k + 1).2) Вектор BM сонаправлен с вектором BC, следовательно,
вектор BM = k/(k + 1) · вектор BC.
Так как вектор BC = вектор AC − вектор AB, то
вектор AM = вектор AB + вектор BM = вектор AB + k/(k + 1)(вектор AC − вектор AB) = (вектор AB + k·вектор AC)/(k + 1).3) Возведём равенство в скалярный квадрат:
(k + 1)²AM² = AB² + 2k(вектор AB · вектор AC) + k²AC².4) Учитывая, что AB = c, AC = b, а вектор AB · вектор AC = bc cos A, получаем:
(1 + k)²AM² = c² + 2bck cos A + k²b².Ответ: (1 + k)²AM² = k²b² + 2bck cos A + c², что и требовалось доказать.
Кратко Так как BM : MC = k : 1, то
вектор AM = (вектор AB + k·вектор AC)/(k + 1).По формуле скалярного произведения:
(k + 1)²AM² = AB² + 2k·AB·AC·cos A + k²AC² = c² + 2bck cos A + k²b².Ответ: (1 + k)²AM² = k²b² + 2bck cos A + c².
BM/BC = k/(k + 1).2) Вектор BM сонаправлен с вектором BC, следовательно,
вектор BM = k/(k + 1) · вектор BC.
Так как вектор BC = вектор AC − вектор AB, то
вектор AM = вектор AB + вектор BM = вектор AB + k/(k + 1)(вектор AC − вектор AB) = (вектор AB + k·вектор AC)/(k + 1).3) Возведём равенство в скалярный квадрат:
(k + 1)²AM² = AB² + 2k(вектор AB · вектор AC) + k²AC².4) Учитывая, что AB = c, AC = b, а вектор AB · вектор AC = bc cos A, получаем:
(1 + k)²AM² = c² + 2bck cos A + k²b².Ответ: (1 + k)²AM² = k²b² + 2bck cos A + c², что и требовалось доказать.
Кратко Так как BM : MC = k : 1, то
вектор AM = (вектор AB + k·вектор AC)/(k + 1).По формуле скалярного произведения:
(k + 1)²AM² = AB² + 2k·AB·AC·cos A + k²AC² = c² + 2bck cos A + k²b².Ответ: (1 + k)²AM² = k²b² + 2bck cos A + c².
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Дан прямоугольник ABCD. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых (AM2 + DM2) - (ВМ2 + СМ2) = 2АВ2.
Задание учебника 2023 года
Точка М лежит на стороне ВС треугольника ABC и ВМ = kMC. Докажите, что (1 + k)2 AM2 = k2b2 + 2bck cos A + c2, где b = AC, c = AB.
