Упр.1075 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти множество точек MС пояснением
1) Обозначим через O точку пересечения диагоналей ромба. Направим оси координат по диагоналям и зададим координаты:
A(−a; 0), C(a; 0), B(0; b), D(0; −b), M(x; y).2) По формуле расстояния условие принимает вид:
(x + a)² + y² + x² + (y + b)² = x² + (y − b)² + (x − a)² + y².3) После раскрытия скобок получим:
4ax + 4by = 0,
то есть ax + by = 0.Это уравнение прямой, проходящей через точку O. Прямая AB имеет направляющий вектор (a; b), поэтому найденная прямая перпендикулярна AB.Ответ: прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба перпендикулярно стороне AB (и стороне CD).
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей, A(−a; 0), C(a; 0), B(0; b), D(0; −b), M(x; y).AM² + DM² = BM² + CM² ⇔ ax + by = 0.Это прямая через O, перпендикулярная AB.Ответ: прямая, проходящая через точку O перпендикулярно сторонам AB и CD.
A(−a; 0), C(a; 0), B(0; b), D(0; −b), M(x; y).2) По формуле расстояния условие принимает вид:
(x + a)² + y² + x² + (y + b)² = x² + (y − b)² + (x − a)² + y².3) После раскрытия скобок получим:
4ax + 4by = 0,
то есть ax + by = 0.Это уравнение прямой, проходящей через точку O. Прямая AB имеет направляющий вектор (a; b), поэтому найденная прямая перпендикулярна AB.Ответ: прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей ромба перпендикулярно стороне AB (и стороне CD).
Кратко Пусть O — точка пересечения диагоналей, A(−a; 0), C(a; 0), B(0; b), D(0; −b), M(x; y).AM² + DM² = BM² + CM² ⇔ ax + by = 0.Это прямая через O, перпендикулярная AB.Ответ: прямая, проходящая через точку O перпендикулярно сторонам AB и CD.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать формулы биссектрисы AD и медианы AMС пояснением
Обозначим BC = a.а) По теореме о биссектрисе
BD : DC = AB : AC = c : b,
поэтому
BD = ac/(b + c), DC = ab/(b + c).1) По теореме Стюарта для биссектрисы AD:
b²·BD + c²·DC = a(AD² + BD·DC).После подстановки получаем:
abc = a(AD² + a²bc/(b + c)²),
AD² = bc − a²bc/(b + c)² = bc((b + c)² − a²)/(b + c)².2) По теореме косинусов
а² = b² + c² − 2bc cos A.
Следовательно,
(b + c)² − a² = 2bc(1 + cos A).Тогда
AD² = 2b²c²(1 + cos A)/(b + c)²,
AD = (2bc/(b + c))·√((1 + cos A)/2).б) Так как M — середина BC, то BM = MC = a/2. По теореме Стюарта для медианы AM:
b²·a/2 + c²·a/2 = a(AM² + a²/4).Отсюда
AM² = (b² + c²)/2 − a²/4.
Подставим a² = b² + c² − 2bc cos A:
AM² = (b² + c² + 2bc cos A)/4,
AM = 1/2·√(b² + c² + 2bc cos A).Ответ: AD = (2bc/(b + c))·√((1 + cos A)/2); AM = 1/2·√(b² + c² + 2bc cos A).
Кратко Пусть BC = a.а) По теореме о биссектрисе:
BD = ac/(b + c), DC = ab/(b + c).
По теореме Стюарта и теореме косинусов:
AD² = bc((b + c)² − a²)/(b + c)² = 2b²c²(1 + cos A)/(b + c)².
Значит,
AD = (2bc/(b + c))·√((1 + cos A)/2).б) По теореме Стюарта для медианы:
AM² = (b² + c²)/2 − a²/4.
Так как a² = b² + c² − 2bc cos A, то
AM = 1/2·√(b² + c² + 2bc cos A).Ответ: AD = (2bc/(b + c))·√((1 + cos A)/2); AM = 1/2·√(b² + c² + 2bc cos A).
BD : DC = AB : AC = c : b,
поэтому
BD = ac/(b + c), DC = ab/(b + c).1) По теореме Стюарта для биссектрисы AD:
b²·BD + c²·DC = a(AD² + BD·DC).После подстановки получаем:
abc = a(AD² + a²bc/(b + c)²),
AD² = bc − a²bc/(b + c)² = bc((b + c)² − a²)/(b + c)².2) По теореме косинусов
а² = b² + c² − 2bc cos A.
Следовательно,
(b + c)² − a² = 2bc(1 + cos A).Тогда
AD² = 2b²c²(1 + cos A)/(b + c)²,
AD = (2bc/(b + c))·√((1 + cos A)/2).б) Так как M — середина BC, то BM = MC = a/2. По теореме Стюарта для медианы AM:
b²·a/2 + c²·a/2 = a(AM² + a²/4).Отсюда
AM² = (b² + c²)/2 − a²/4.
Подставим a² = b² + c² − 2bc cos A:
AM² = (b² + c² + 2bc cos A)/4,
AM = 1/2·√(b² + c² + 2bc cos A).Ответ: AD = (2bc/(b + c))·√((1 + cos A)/2); AM = 1/2·√(b² + c² + 2bc cos A).
Кратко Пусть BC = a.а) По теореме о биссектрисе:
BD = ac/(b + c), DC = ab/(b + c).
По теореме Стюарта и теореме косинусов:
AD² = bc((b + c)² − a²)/(b + c)² = 2b²c²(1 + cos A)/(b + c)².
Значит,
AD = (2bc/(b + c))·√((1 + cos A)/2).б) По теореме Стюарта для медианы:
AM² = (b² + c²)/2 − a²/4.
Так как a² = b² + c² − 2bc cos A, то
AM = 1/2·√(b² + c² + 2bc cos A).Ответ: AD = (2bc/(b + c))·√((1 + cos A)/2); AM = 1/2·√(b² + c² + 2bc cos A).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Дан ромб ABCD, диагонали которого равны 2а и 2b. Найдите множество всех точек М, для каждой из которых AM2 + DM2 = ВМ2 + СМ2.
Задание учебника 2023 года
решак
