Упр.1055 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Написать уравнения окружностей с диаметром MNС пояснением
Уравнение окружности с центром O(a; b) и радиусом R имеет вид:
(x − a)² + (y − b)² = R².а) 1) Найдём середину отрезка MN — центр окружности:
O((−3 + 7) : 2; (5 − 3) : 2) = O(2; 1).
2) Найдём квадрат диаметра:
MN² = (7 + 3)² + (−3 − 5)² = 10² + (−8)² = 164.
3) Так как радиус равен половине диаметра, R² = MN² : 4 = 164 : 4 = 41.
Уравнение окружности:
(x − 2)² + (y − 1)² = 41.б) 1) Найдём центр окружности:
O((2 + 4) : 2; (−1 + 3) : 2) = O(3; 1).
2) Найдём квадрат диаметра:
MN² = (4 − 2)² + (3 + 1)² = 2² + 4² = 20.
3) R² = MN² : 4 = 20 : 4 = 5.
Уравнение окружности:
(x − 3)² + (y − 1)² = 5.Ответ: а) (x − 2)² + (y − 1)² = 41; б) (x − 3)² + (y − 1)² = 5.
Кратко а) Центр окружности: O(2; 1), R² = 41.
(x − 2)² + (y − 1)² = 41.б) Центр окружности: O(3; 1), R² = 5.
(x − 3)² + (y − 1)² = 5.Ответ: а) (x − 2)² + (y − 1)² = 41; б) (x − 3)² + (y − 1)² = 5.
(x − a)² + (y − b)² = R².а) 1) Найдём середину отрезка MN — центр окружности:
O((−3 + 7) : 2; (5 − 3) : 2) = O(2; 1).
2) Найдём квадрат диаметра:
MN² = (7 + 3)² + (−3 − 5)² = 10² + (−8)² = 164.
3) Так как радиус равен половине диаметра, R² = MN² : 4 = 164 : 4 = 41.
Уравнение окружности:
(x − 2)² + (y − 1)² = 41.б) 1) Найдём центр окружности:
O((2 + 4) : 2; (−1 + 3) : 2) = O(3; 1).
2) Найдём квадрат диаметра:
MN² = (4 − 2)² + (3 + 1)² = 2² + 4² = 20.
3) R² = MN² : 4 = 20 : 4 = 5.
Уравнение окружности:
(x − 3)² + (y − 1)² = 5.Ответ: а) (x − 2)² + (y − 1)² = 41; б) (x − 3)² + (y − 1)² = 5.
Кратко а) Центр окружности: O(2; 1), R² = 41.
(x − 2)² + (y − 1)² = 41.б) Центр окружности: O(3; 1), R² = 5.
(x − 3)² + (y − 1)² = 5.Ответ: а) (x − 2)² + (y − 1)² = 41; б) (x − 3)² + (y − 1)² = 5.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти угол при вершине равнобедренного треугольникаС пояснением
Пусть AB — основание равнобедренного треугольника ABC, AC = BC = a, AB = c. Медианы AD и BE пересекаются в точке G под прямым углом.1) Медианы AD и BE равны, так как проведены к равным сторонам. Точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2 : 1, поэтому AG = BG.Следовательно, треугольник AGB — прямоугольный равнобедренный, поэтому по теореме Пифагора:
c² = 2AG².2) Обозначим длину медианы AD через m. Тогда AG = 2m/3, поэтому:
c² = 2 · (2m/3)² = 8m²/9.3) По формуле медианы:
m² = (2c² + a²)/4.Подставим это выражение:
c² = 8/9 · (2c² + a²)/4,
9c² = 4c² + 2a²,
2a² = 5c².4) По теореме косинусов для угла C:
c² = a² + a² − 2a² cos C.Так как c² = 2a²/5, получаем:
2a²/5 = 2a² − 2a² cos C,
cos C = 4/5.Следовательно, ∠C ≈ 36,87°, то есть примерно 37°.Ответ: ∠C = arccos(4/5) ≈ 37°.
Кратко Пусть боковая сторона равна a, основание — c, а медиана к боковой стороне — m. Из перпендикулярности равных медиан и свойства точки их пересечения:
c² = 2 · (2m/3)² = 8m²/9.По формуле медианы m² = (2c² + a²)/4, откуда 2a² = 5c².По теореме косинусов:
cos C = (2a² − c²)/(2a²) = 4/5,
∠C ≈ 37°.Ответ: arccos(4/5) ≈ 37°.
c² = 2AG².2) Обозначим длину медианы AD через m. Тогда AG = 2m/3, поэтому:
c² = 2 · (2m/3)² = 8m²/9.3) По формуле медианы:
m² = (2c² + a²)/4.Подставим это выражение:
c² = 8/9 · (2c² + a²)/4,
9c² = 4c² + 2a²,
2a² = 5c².4) По теореме косинусов для угла C:
c² = a² + a² − 2a² cos C.Так как c² = 2a²/5, получаем:
2a²/5 = 2a² − 2a² cos C,
cos C = 4/5.Следовательно, ∠C ≈ 36,87°, то есть примерно 37°.Ответ: ∠C = arccos(4/5) ≈ 37°.
Кратко Пусть боковая сторона равна a, основание — c, а медиана к боковой стороне — m. Из перпендикулярности равных медиан и свойства точки их пересечения:
c² = 2 · (2m/3)² = 8m²/9.По формуле медианы m² = (2c² + a²)/4, откуда 2a² = 5c².По теореме косинусов:
cos C = (2a² − c²)/(2a²) = 4/5,
∠C ≈ 37°.Ответ: arccos(4/5) ≈ 37°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5), N (7; -3); б) М (2; -1), N (4; 3).
Задание учебника 2023 года
Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
