Упр.1054 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Составить уравнение окружностиС пояснением
1) Уравнение окружности с центром A(0; 6) имеет вид:
(x - 0)² + (y - 6)² = R².2) Найдём квадрат радиуса по координатам точек A и B:
R² = (-3 - 0)² + (2 - 6)² = 9 + 16 = 25.3) Подставим R² = 25:
x² + (y - 6)² = 25.Ответ: x² + (y - 6)² = 25.
Кратко AB² = (-3 - 0)² + (2 - 6)² = 25.
Уравнение окружности: x² + (y - 6)² = 25.Ответ: x² + (y - 6)² = 25.
(x - 0)² + (y - 6)² = R².2) Найдём квадрат радиуса по координатам точек A и B:
R² = (-3 - 0)² + (2 - 6)² = 9 + 16 = 25.3) Подставим R² = 25:
x² + (y - 6)² = 25.Ответ: x² + (y - 6)² = 25.
Кратко AB² = (-3 - 0)² + (2 - 6)² = 25.
Уравнение окружности: x² + (y - 6)² = 25.Ответ: x² + (y - 6)² = 25.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать формулу медианы и равенство медианС пояснением
1) Обозначим BC = a, AC = b, AB = c, AM = m. Так как AM — медиана, BM = CM = a/2.2) Пусть ∠AMB = α. Тогда ∠AMC = 180° − α. По теореме косинусов:
c² = m² + a²/4 − am cos α,
b² = m² + a²/4 + am cos α.
Сложив равенства, получим:
b² + c² = 2m² + a²/2,
откуда 4m² = 2b² + 2c² − a².3) По теореме косинусов для треугольника ABC:
a² = b² + c² − 2bc cos A.
Подставим это выражение:
4m² = 2b² + 2c² − (b² + c² − 2bc cos A) = b² + c² + 2bc cos A.
Следовательно,
4AM² = AB² + AC² + 2AB · AC · cos A.4) Пусть AB = AC, BN и CP — медианы, проведённые к боковым сторонам AC и AB. По доказанной формуле:
4BN² = AB² + BC² + 2AB · BC · cos B,
4CP² = AC² + BC² + 2AC · BC · cos C.
В равнобедренном треугольнике AB = AC и ∠B = ∠C, поэтому cos B = cos C. Правые части равенств одинаковы, значит BN² = CP², следовательно, BN = CP.Ответ: формула доказана; медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.
Кратко Пусть BC = a, AC = b, AB = c, AM = m. Из теоремы косинусов для треугольников ABM и ACM, учитывая BM = CM = a/2, получаем:
4m² = 2b² + 2c² − a².Так как a² = b² + c² − 2bc cos A, то
4AM² = AB² + AC² + 2AB · AC · cos A.Если AB = AC, а BN и CP — медианы к боковым сторонам AC и AB, то
4BN² = AB² + BC² + 2AB · BC · cos B,
4CP² = AC² + BC² + 2AC · BC · cos C.
Поскольку AB = AC и ∠B = ∠C, правые части равны. Значит, BN = CP.Ответ: формула доказана; медианы к боковым сторонам равны.
c² = m² + a²/4 − am cos α,
b² = m² + a²/4 + am cos α.
Сложив равенства, получим:
b² + c² = 2m² + a²/2,
откуда 4m² = 2b² + 2c² − a².3) По теореме косинусов для треугольника ABC:
a² = b² + c² − 2bc cos A.
Подставим это выражение:
4m² = 2b² + 2c² − (b² + c² − 2bc cos A) = b² + c² + 2bc cos A.
Следовательно,
4AM² = AB² + AC² + 2AB · AC · cos A.4) Пусть AB = AC, BN и CP — медианы, проведённые к боковым сторонам AC и AB. По доказанной формуле:
4BN² = AB² + BC² + 2AB · BC · cos B,
4CP² = AC² + BC² + 2AC · BC · cos C.
В равнобедренном треугольнике AB = AC и ∠B = ∠C, поэтому cos B = cos C. Правые части равенств одинаковы, значит BN² = CP², следовательно, BN = CP.Ответ: формула доказана; медианы, проведённые к боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны.
Кратко Пусть BC = a, AC = b, AB = c, AM = m. Из теоремы косинусов для треугольников ABM и ACM, учитывая BM = CM = a/2, получаем:
4m² = 2b² + 2c² − a².Так как a² = b² + c² − 2bc cos A, то
4AM² = AB² + AC² + 2AB · AC · cos A.Если AB = AC, а BN и CP — медианы к боковым сторонам AC и AB, то
4BN² = AB² + BC² + 2AB · BC · cos B,
4CP² = AC² + BC² + 2AC · BC · cos C.
Поскольку AB = AC и ∠B = ∠C, правые части равны. Значит, BN = CP.Ответ: формула доказана; медианы к боковым сторонам равны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 6), проходящей через точку В (-3; 2).
Задание учебника 2023 года
Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то 4AM2 = АВ2 + АС2 + 2АВ x АС x cosА. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.
