Упр.1042 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать признак равнобедренной трапеции по диагоналямС пояснением
Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, причём AD — большее основание. Проведём высоты BF и CE к основанию AD.Прямое утверждение
Дано: AB = CD. Доказать: AC = BD.1) Четырёхугольник FBCE — прямоугольник, поэтому BF = CE и FE = BC.
2) Прямоугольные треугольники ABF и DCE равны по гипотенузе и катету: AB = CD, BF = CE. Значит, AF = DE.
3) AE = AF + FE, а DF = DE + FE. Поэтому AE = DF.
4) Прямоугольные треугольники ACE и DBF равны по двум катетам: CE = BF и AE = DF. Следовательно, AC = BD.Обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.Дано: AC = BD. Доказать: AB = CD.1) Прямоугольные треугольники ACE и DBF равны по гипотенузе и катету: AC = BD, CE = BF. Значит, AE = DF.
2) Так как AE = AF + FE, DF = DE + FE, то AF = DE.
3) Прямоугольные треугольники ABF и DCE равны по двум катетам: BF = CE и AF = DE. Следовательно, AB = CD, поэтому трапеция ABCD равнобедренная.Если основания расположены иначе, доказательство проводится аналогично.Ответ: в равнобедренной трапеции диагонали равны; верно и обратное утверждение: трапеция с равными диагоналями является равнобедренной.
Кратко Пусть AD ∥ BC. Опустим высоты BF и CE на большее основание AD. Тогда FBCE — прямоугольник, поэтому BF = CE и FE = BC.Если AB = CD, то прямоугольные треугольники ABF и DCE равны по гипотенузе и катету. Отсюда AF = DE, значит, AE = DF. Тогда треугольники ACE и DBF равны по двум катетам, поэтому AC = BD.Обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.Если AC = BD, то прямоугольные треугольники ACE и DBF равны по гипотенузе и катету. Поэтому AE = DF, откуда AF = DE. Следовательно, треугольники ABF и DCE равны по двум катетам, значит, AB = CD.Ответ: диагонали равнобедренной трапеции равны; трапеция с равными диагоналями является равнобедренной.
Дано: AB = CD. Доказать: AC = BD.1) Четырёхугольник FBCE — прямоугольник, поэтому BF = CE и FE = BC.
2) Прямоугольные треугольники ABF и DCE равны по гипотенузе и катету: AB = CD, BF = CE. Значит, AF = DE.
3) AE = AF + FE, а DF = DE + FE. Поэтому AE = DF.
4) Прямоугольные треугольники ACE и DBF равны по двум катетам: CE = BF и AE = DF. Следовательно, AC = BD.Обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то трапеция равнобедренная.Дано: AC = BD. Доказать: AB = CD.1) Прямоугольные треугольники ACE и DBF равны по гипотенузе и катету: AC = BD, CE = BF. Значит, AE = DF.
2) Так как AE = AF + FE, DF = DE + FE, то AF = DE.
3) Прямоугольные треугольники ABF и DCE равны по двум катетам: BF = CE и AF = DE. Следовательно, AB = CD, поэтому трапеция ABCD равнобедренная.Если основания расположены иначе, доказательство проводится аналогично.Ответ: в равнобедренной трапеции диагонали равны; верно и обратное утверждение: трапеция с равными диагоналями является равнобедренной.
Кратко Пусть AD ∥ BC. Опустим высоты BF и CE на большее основание AD. Тогда FBCE — прямоугольник, поэтому BF = CE и FE = BC.Если AB = CD, то прямоугольные треугольники ABF и DCE равны по гипотенузе и катету. Отсюда AF = DE, значит, AE = DF. Тогда треугольники ACE и DBF равны по двум катетам, поэтому AC = BD.Обратное утверждение: если диагонали трапеции равны, то она равнобедренная.Если AC = BD, то прямоугольные треугольники ACE и DBF равны по гипотенузе и катету. Поэтому AE = DF, откуда AF = DE. Следовательно, треугольники ABF и DCE равны по двум катетам, значит, AB = CD.Ответ: диагонали равнобедренной трапеции равны; трапеция с равными диагоналями является равнобедренной.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Вычислить скалярное произведение векторов AB и AC
Вычислить скалярное произведение векторов AB и ACС пояснением
1) Так как треугольник ABC равносторонний, ∠BAC = 60°, |AB| = |AC| = a.
2) По формуле скалярного произведения:
AB · AC = |AB| · |AC| · cos 60° = a · a · 1/2 = a²/2.
Ответ: a²/2.
Кратко AB · AC = a² · cos 60° = a²/2.
Ответ: a²/2.
2) По формуле скалярного произведения:
AB · AC = |AB| · |AC| · cos 60° = a · a · 1/2 = a²/2.
Ответ: a²/2.
Кратко AB · AC = a² · cos 60° = a²/2.
Ответ: a²/2.
Разбор 2 Вычислить скалярное произведение векторов AC и CB
Вычислить скалярное произведение векторов AC и CBС пояснением
1) Угол ACB равен 60°, так как треугольник ABC равносторонний.2) Вектор AC противоположно направлен вектору CA, поэтому угол между векторами AC и CB равен:
180° − 60° = 120°.3) AC · CB = |AC| · |CB| · cos 120° = a · a · (−1/2) = −a²/2.Ответ: −a²/2.
Кратко AC · CB = a² cos 120° = −a²/2.Ответ: −a²/2.
180° − 60° = 120°.3) AC · CB = |AC| · |CB| · cos 120° = a · a · (−1/2) = −a²/2.Ответ: −a²/2.
Кратко AC · CB = a² cos 120° = −a²/2.Ответ: −a²/2.
Разбор 3 Найти скалярное произведение векторов AC и BD
Найти скалярное произведение векторов AC и BDС пояснением
1) BD — высота треугольника ABC, поэтому BD ⟂ AC.
2) Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:
AC · BD = 0.
Ответ: 0.
Кратко Так как AC ⟂ BD, то AC · BD = 0.
Ответ: 0.
2) Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю:
AC · BD = 0.
Ответ: 0.
Кратко Так как AC ⟂ BD, то AC · BD = 0.
Ответ: 0.
Разбор 4 Вычислить скалярное произведение AC · AC
Вычислить скалярное произведение AC · ACС пояснением
1) Угол между вектором AC и самим собой равен 0°.
2) AC · AC = |AC| · |AC| · cos 0° = a · a · 1 = a².
Ответ: a².
Кратко AC · AC = |AC|² = a².
Ответ: a².
2) AC · AC = |AC| · |AC| · cos 0° = a · a · 1 = a².
Ответ: a².
Кратко AC · AC = |AC|² = a².
Ответ: a².
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.
Задание учебника 2023 года
В равностороннем треугольнике ABC со стороной а проведена высота BD. Вычислите скалярное произведение векторов: а) АВ x АС; б) АС x СВ; в) АС x BD; г) АСx АС.
