Упр.1025 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найти длины векторов по координатамС пояснением
Длина вектора с координатами {x; y} вычисляется по формуле:
|a⃗| = √(x² + y²).а) |a⃗| = √(5² + 9²) = √106;
б) |b⃗| = √((-3)² + 4²) = √25 = 5;
в) |c⃗| = √((-10)² + (-10)²) = √200 = 10√2;
г) |d⃗| = √(10² + 17²) = √389;
д) |e⃗| = √(11² + (-11)²) = √242 = 11√2;
е) |f⃗| = √(10² + 0²) = √100 = 10.Ответ: а) √106; б) 5; в) 10√2; г) √389; д) 11√2; е) 10.
Кратко а) |a⃗| = √(5² + 9²) = √106;
б) |b⃗| = √((-3)² + 4²) = 5;
в) |c⃗| = √((-10)² + (-10)²) = 10√2;
г) |d⃗| = √(10² + 17²) = √389;
д) |e⃗| = √(11² + (-11)²) = 11√2;
е) |f⃗| = √(10² + 0²) = 10.Ответ: а) √106; б) 5; в) 10√2; г) √389; д) 11√2; е) 10.
|a⃗| = √(x² + y²).а) |a⃗| = √(5² + 9²) = √106;
б) |b⃗| = √((-3)² + 4²) = √25 = 5;
в) |c⃗| = √((-10)² + (-10)²) = √200 = 10√2;
г) |d⃗| = √(10² + 17²) = √389;
д) |e⃗| = √(11² + (-11)²) = √242 = 11√2;
е) |f⃗| = √(10² + 0²) = √100 = 10.Ответ: а) √106; б) 5; в) 10√2; г) √389; д) 11√2; е) 10.
Кратко а) |a⃗| = √(5² + 9²) = √106;
б) |b⃗| = √((-3)² + 4²) = 5;
в) |c⃗| = √((-10)² + (-10)²) = 10√2;
г) |d⃗| = √(10² + 17²) = √389;
д) |e⃗| = √(11² + (-11)²) = 11√2;
е) |f⃗| = √(10² + 0²) = 10.Ответ: а) √106; б) 5; в) 10√2; г) √389; д) 11√2; е) 10.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4(Учебник 2023)
Решение #5 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Решить треугольник ABC
Решить треугольник ABCС пояснением
1) ∠C = 180° − ∠A − ∠B = 180° − 60° − 40° = 80°.2) По теореме синусов:
a/sin A = c/sin C,
a = c · sin A/sin C = 14 · sin 60°/sin 80° ≈ 12,31.3) Аналогично:
b/sin B = c/sin C,
b = c · sin B/sin C = 14 · sin 40°/sin 80° ≈ 9,14.Ответ: ∠C = 80°, a ≈ 12,31, b ≈ 9,14.
Кратко ∠C = 180° − 60° − 40° = 80°.
По теореме синусов:
a = 14sin 60°/sin 80° ≈ 12,31;
b = 14sin 40°/sin 80° ≈ 9,14.Ответ: ∠C = 80°, a ≈ 12,31, b ≈ 9,14.
a/sin A = c/sin C,
a = c · sin A/sin C = 14 · sin 60°/sin 80° ≈ 12,31.3) Аналогично:
b/sin B = c/sin C,
b = c · sin B/sin C = 14 · sin 40°/sin 80° ≈ 9,14.Ответ: ∠C = 80°, a ≈ 12,31, b ≈ 9,14.
Кратко ∠C = 180° − 60° − 40° = 80°.
По теореме синусов:
a = 14sin 60°/sin 80° ≈ 12,31;
b = 14sin 40°/sin 80° ≈ 9,14.Ответ: ∠C = 80°, a ≈ 12,31, b ≈ 9,14.
Разбор 2 Решить треугольник ABC
Решить треугольник ABCС пояснением
1) ∠B = 180° − ∠A − ∠C = 180° − 30° − 75° = 75°.2) Так как ∠B = ∠C, то противолежащие им стороны равны:
c = b = 4,5.3) По теореме косинусов:
a² = b² + c² − 2bc cos A;
a² = 4,5² + 4,5² − 2 · 4,5 · 4,5 · cos 30° = 40,5 − 20,25√3.Следовательно,
a = 4,5√(2 − √3) = 9(√6 − √2)/4 ≈ 2,33.Ответ: ∠A = 30°, ∠B = 75°, ∠C = 75°; a = 9(√6 − √2)/4 ≈ 2,33; b = c = 4,5.
Кратко 1) ∠B = 180° − 30° − 75° = 75°.
2) ∠B = ∠C, поэтому c = b = 4,5.
3) a² = 4,5² + 4,5² − 2 · 4,5² · cos 30°, откуда a = 9(√6 − √2)/4 ≈ 2,33.Ответ: ∠A = 30°, ∠B = ∠C = 75°; a ≈ 2,33; b = c = 4,5.
c = b = 4,5.3) По теореме косинусов:
a² = b² + c² − 2bc cos A;
a² = 4,5² + 4,5² − 2 · 4,5 · 4,5 · cos 30° = 40,5 − 20,25√3.Следовательно,
a = 4,5√(2 − √3) = 9(√6 − √2)/4 ≈ 2,33.Ответ: ∠A = 30°, ∠B = 75°, ∠C = 75°; a = 9(√6 − √2)/4 ≈ 2,33; b = c = 4,5.
Кратко 1) ∠B = 180° − 30° − 75° = 75°.
2) ∠B = ∠C, поэтому c = b = 4,5.
3) a² = 4,5² + 4,5² − 2 · 4,5² · cos 30°, откуда a = 9(√6 − √2)/4 ≈ 2,33.Ответ: ∠A = 30°, ∠B = ∠C = 75°; a ≈ 2,33; b = c = 4,5.
Разбор 3 Решить треугольник ABC
Решить треугольник ABCС пояснением
1) По теореме синусов:sin B / b = sin A / a,sin B = b · sin A / a = 10 · sin 80° / 16 ≈ 0,616.Отсюда B ≈ 38°. Второе возможное значение угла B не подходит, так как вместе с углом A сумма превысит 180°.2) C = 180° − A − B = 180° − 80° − 38° ≈ 62°.3) По теореме косинусов:c² = a² + b² − 2ab · cos C,c = √(16² + 10² − 2 · 16 · 10 · cos 62°) ≈ 14,3.Ответ: B ≈ 38°, C ≈ 62°, c ≈ 14,3.
Кратко 1) sin B = 10 · sin 80° / 16, поэтому B ≈ 38°.
2) C = 180° − 80° − 38° ≈ 62°.
3) c = √(16² + 10² − 2 · 16 · 10 · cos 62°) ≈ 14,3.Ответ: B ≈ 38°, C ≈ 62°, c ≈ 14,3.
Кратко 1) sin B = 10 · sin 80° / 16, поэтому B ≈ 38°.
2) C = 180° − 80° − 38° ≈ 62°.
3) c = √(16² + 10² − 2 · 16 · 10 · cos 62°) ≈ 14,3.Ответ: B ≈ 38°, C ≈ 62°, c ≈ 14,3.
Разбор 4 Решить треугольник ABC
Решить треугольник ABCС пояснением
1) ∠A = 180° − ∠B − ∠C = 180° − 45° − 70° = 65°.2) По теореме синусов:
a/sin A = b/sin B,
откуда
b = a·sin B/sin A = 24,6·sin 45°/sin 65° ≈ 19,2.3) Аналогично:
a/sin A = c/sin C,
откуда
c = a·sin C/sin A = 24,6·sin 70°/sin 65° ≈ 25,5.Ответ: ∠A = 65°, b ≈ 19,2, c ≈ 25,5.
Кратко ∠A = 180° − 45° − 70° = 65°.По теореме синусов:
b = 24,6·sin 45°/sin 65° ≈ 19,2;
c = 24,6·sin 70°/sin 65° ≈ 25,5.Ответ: ∠A = 65°, b ≈ 19,2, c ≈ 25,5.
a/sin A = b/sin B,
откуда
b = a·sin B/sin A = 24,6·sin 45°/sin 65° ≈ 19,2.3) Аналогично:
a/sin A = c/sin C,
откуда
c = a·sin C/sin A = 24,6·sin 70°/sin 65° ≈ 25,5.Ответ: ∠A = 65°, b ≈ 19,2, c ≈ 25,5.
Кратко ∠A = 180° − 45° − 70° = 65°.По теореме синусов:
b = 24,6·sin 45°/sin 65° ≈ 19,2;
c = 24,6·sin 70°/sin 65° ≈ 25,5.Ответ: ∠A = 65°, b ≈ 19,2, c ≈ 25,5.
Разбор 5 Решить треугольник ABC
Решить треугольник ABCС пояснением
1) По теореме косинусов:
a² = b² + c² − 2bc cos A,
100 = 49 + c² − 2 · 7 · c · cos 60°,
c² − 7c − 51 = 0.
Отсюда c = (7 + √253) / 2 ≈ 11,45. Отрицательный корень не подходит.2) По теореме синусов:
sin B / b = sin A / a,
sin B = 7 · sin 60° / 10 = 7√3 / 20.
По таблице синусов B ≈ 37,3°. Значение 180° − 37,3° не подходит, так как вместе с углом A сумма превысит 180°.3) C = 180° − 60° − 37,3° = 82,7°.Ответ: B ≈ 37,3°, C ≈ 82,7°, c ≈ 11,45.
Кратко По теоремам косинусов и синусов:
c = (7 + √253) / 2 ≈ 11,45;
sin B = 7√3 / 20, поэтому B ≈ 37,3°;
C = 180° − 60° − 37,3° = 82,7°.Ответ: B ≈ 37,3°, C ≈ 82,7°, c ≈ 11,45.
a² = b² + c² − 2bc cos A,
100 = 49 + c² − 2 · 7 · c · cos 60°,
c² − 7c − 51 = 0.
Отсюда c = (7 + √253) / 2 ≈ 11,45. Отрицательный корень не подходит.2) По теореме синусов:
sin B / b = sin A / a,
sin B = 7 · sin 60° / 10 = 7√3 / 20.
По таблице синусов B ≈ 37,3°. Значение 180° − 37,3° не подходит, так как вместе с углом A сумма превысит 180°.3) C = 180° − 60° − 37,3° = 82,7°.Ответ: B ≈ 37,3°, C ≈ 82,7°, c ≈ 11,45.
Кратко По теоремам косинусов и синусов:
c = (7 + √253) / 2 ≈ 11,45;
sin B = 7√3 / 20, поэтому B ≈ 37,3°;
C = 180° − 60° − 37,3° = 82,7°.Ответ: B ≈ 37,3°, C ≈ 82,7°, c ≈ 11,45.
Разбор 6 Решить треугольник ABC
Решить треугольник ABCС пояснением
1) Так как a = b = 6,3, треугольник равнобедренный, поэтому ∠A = ∠B.2) ∠A = ∠B = (180° − 54°) : 2 = 63°.3) По теореме косинусов:
c² = a² + b² − 2ab cos C;
c² = 6,3² + 6,3² − 2 · 6,3 · 6,3 · cos 54° ≈ 32,72;
c ≈ 5,72.Ответ: ∠A = 63°, ∠B = 63°, c ≈ 5,72.
Кратко Так как a = b, то ∠A = ∠B.1) ∠A = ∠B = (180° − 54°) : 2 = 63°.
2) c = √(6,3² + 6,3² − 2 · 6,3 · 6,3 · cos 54°) ≈ 5,72.Ответ: ∠A = 63°, ∠B = 63°, c ≈ 5,72.
c² = a² + b² − 2ab cos C;
c² = 6,3² + 6,3² − 2 · 6,3 · 6,3 · cos 54° ≈ 32,72;
c ≈ 5,72.Ответ: ∠A = 63°, ∠B = 63°, c ≈ 5,72.
Кратко Так как a = b, то ∠A = ∠B.1) ∠A = ∠B = (180° − 54°) : 2 = 63°.
2) c = √(6,3² + 6,3² − 2 · 6,3 · 6,3 · cos 54°) ≈ 5,72.Ответ: ∠A = 63°, ∠B = 63°, c ≈ 5,72.
Разбор 7 Решить треугольник по двум сторонам и углу
Решить треугольник по двум сторонам и углуС пояснением
1) По теореме косинусов:
a² = b² + c² − 2bc cos A;
a² = 32² + 45² − 2 · 32 · 45 · cos 87° ≈ 2898,27;
a ≈ 53,84.2) По теореме синусов:
sin B / b = sin A / a;
sin B = 32 · sin 87° / 53,84 ≈ 0,594;
B ≈ 36,4°.
Значение 180° − 36,4° не подходит, так как вместе с углом A сумма превысила бы 180°.3) Найдём третий угол:
C = 180° − A − B = 180° − 87° − 36,4° ≈ 56,6°.Ответ: a ≈ 53,84; B ≈ 36,4°; C ≈ 56,6°.
Кратко a² = 32² + 45² − 2 · 32 · 45 · cos 87°, поэтому a ≈ 53,84.sin B = 32 · sin 87° / 53,84, поэтому B ≈ 36,4°.C = 180° − 87° − 36,4° ≈ 56,6°.Ответ: a ≈ 53,84; B ≈ 36,4°; C ≈ 56,6°.
a² = b² + c² − 2bc cos A;
a² = 32² + 45² − 2 · 32 · 45 · cos 87° ≈ 2898,27;
a ≈ 53,84.2) По теореме синусов:
sin B / b = sin A / a;
sin B = 32 · sin 87° / 53,84 ≈ 0,594;
B ≈ 36,4°.
Значение 180° − 36,4° не подходит, так как вместе с углом A сумма превысила бы 180°.3) Найдём третий угол:
C = 180° − A − B = 180° − 87° − 36,4° ≈ 56,6°.Ответ: a ≈ 53,84; B ≈ 36,4°; C ≈ 56,6°.
Кратко a² = 32² + 45² − 2 · 32 · 45 · cos 87°, поэтому a ≈ 53,84.sin B = 32 · sin 87° / 53,84, поэтому B ≈ 36,4°.C = 180° − 87° − 36,4° ≈ 56,6°.Ответ: a ≈ 53,84; B ≈ 36,4°; C ≈ 56,6°.
Разбор 8 Решить треугольник по трём сторонам
Решить треугольник по трём сторонамС пояснением
1) По теореме косинусов:
cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) = (14² + 18² − 20²) / (2 · 14 · 18) = 5/21.
Следовательно, ∠C ≈ 76,2°.2) По теореме синусов:
sin A / a = sin C / c,
sin A = 14 · sin 76,2° / 20 ≈ 0,68.
Следовательно, ∠A ≈ 42,8°.3) ∠B = 180° − 76,2° − 42,8° = 61°.Ответ: ∠A ≈ 42,8°, ∠B ≈ 61°, ∠C ≈ 76,2°.
Кратко cos C = (14² + 18² − 20²) / (2 · 14 · 18) = 5/21, поэтому ∠C ≈ 76,2°.По теореме синусов:
sin A = 14 · sin 76,2° / 20, откуда ∠A ≈ 42,8°.∠B = 180° − 76,2° − 42,8° = 61°.Ответ: ∠A ≈ 42,8°, ∠B ≈ 61°, ∠C ≈ 76,2°.
cos C = (a² + b² − c²) / (2ab) = (14² + 18² − 20²) / (2 · 14 · 18) = 5/21.
Следовательно, ∠C ≈ 76,2°.2) По теореме синусов:
sin A / a = sin C / c,
sin A = 14 · sin 76,2° / 20 ≈ 0,68.
Следовательно, ∠A ≈ 42,8°.3) ∠B = 180° − 76,2° − 42,8° = 61°.Ответ: ∠A ≈ 42,8°, ∠B ≈ 61°, ∠C ≈ 76,2°.
Кратко cos C = (14² + 18² − 20²) / (2 · 14 · 18) = 5/21, поэтому ∠C ≈ 76,2°.По теореме синусов:
sin A = 14 · sin 76,2° / 20, откуда ∠A ≈ 42,8°.∠B = 180° − 76,2° − 42,8° = 61°.Ответ: ∠A ≈ 42,8°, ∠B ≈ 61°, ∠C ≈ 76,2°.
Разбор 9 Решить треугольник по трём сторонам
Решить треугольник по трём сторонамС пояснением
Дано: a = 6, b = 7,3, c = 4,8.1) По теореме косинусов:
b² = a² + c² − 2ac · cos B,
cos B = (a² + c² − b²) / (2ac) = (36 + 23,04 − 53,29) / (2 · 6 · 4,8) = 5,75 / 57,6 ≈ 0,0998.
Следовательно, ∠B ≈ 84,27°.2) По теореме синусов:
sin A / a = sin B / b,
sin A = a · sin B / b = 6 · sin 84,27° / 7,3 ≈ 0,8178.
Следовательно, ∠A ≈ 54,87°.3) Найдём третий угол:
∠C = 180° − 84,27° − 54,87° ≈ 40,86°.Ответ: ∠A ≈ 54,87°, ∠B ≈ 84,27°, ∠C ≈ 40,86°.
Кратко 1) cos B = (a² + c² − b²) / (2ac) = (36 + 23,04 − 53,29) / (2 · 6 · 4,8) ≈ 0,0998,
∠B ≈ 84,27°.2) sin A = a · sin B / b = 6 · sin 84,27° / 7,3 ≈ 0,8178,
∠A ≈ 54,87°.3) ∠C = 180° − 84,27° − 54,87° ≈ 40,86°.Ответ: ∠A ≈ 54,87°, ∠B ≈ 84,27°, ∠C ≈ 40,86°.
b² = a² + c² − 2ac · cos B,
cos B = (a² + c² − b²) / (2ac) = (36 + 23,04 − 53,29) / (2 · 6 · 4,8) = 5,75 / 57,6 ≈ 0,0998.
Следовательно, ∠B ≈ 84,27°.2) По теореме синусов:
sin A / a = sin B / b,
sin A = a · sin B / b = 6 · sin 84,27° / 7,3 ≈ 0,8178.
Следовательно, ∠A ≈ 54,87°.3) Найдём третий угол:
∠C = 180° − 84,27° − 54,87° ≈ 40,86°.Ответ: ∠A ≈ 54,87°, ∠B ≈ 84,27°, ∠C ≈ 40,86°.
Кратко 1) cos B = (a² + c² − b²) / (2ac) = (36 + 23,04 − 53,29) / (2 · 6 · 4,8) ≈ 0,0998,
∠B ≈ 84,27°.2) sin A = a · sin B / b = 6 · sin 84,27° / 7,3 ≈ 0,8178,
∠A ≈ 54,87°.3) ∠C = 180° − 84,27° − 54,87° ≈ 40,86°.Ответ: ∠A ≈ 54,87°, ∠B ≈ 84,27°, ∠C ≈ 40,86°.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Найдите длины векторов: а) а {5; 9}; б) b {-3; 4}; в) с {-10; -10}; г) d {10; 17}; д) е {11; -11}; е) f {10; 0}.
Задание учебника 2023 года
С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если: а) угол A = 60°, угол B = 40°, с =14; б) угол A = 30°, угол C= 75°, b = 4,5; г) угол B = 45°, угол C = 70°, a = 24,6; e) a = 6,3, b = 6,3, угол C = 54°; з) a = 14, 6 = 18, c = 20; в) угол A = 80°, a =16, b= 10; д) угол A = 60°, a = 10, b = 7; ж) 6 = 32, с = 45, угол A = 87°; и) a= 6, b = 7,3, с = 4,8.
