Упр.9.41 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:
11. Три населённых пункта А, В и С расположены в вершинах остроугольного треугольника. Где следует построить комбинат, чтобы сумма расстояний от него до всех трёх пунктов была наименьшей?
Дано: три населенных пункта A, B и C расположены в вершинах
остроугольного треугольника:
Найти: где потроить комбинат K, чтобы сумма расстояний от него до
всех трех пунктов была минимальной;
Решение:
1) Допустим такая точка K уже существует;
2) Повернем треугольник AKB на угол 60° около вершины A так, чтобы
точки B1 и K1 лежали по другую сторону от точки C относительно
прямой AB;
3) Расстояния при движении сохраняются, значит:
B1 K1=BK и AK=AK1;
4) Треугольник AKK1-равнобедренный с угол A=60°:
угол K = углу K1=(180°-60°)/2=60°, значит треугольник AKK1-равносторонний, отсюда:
KK1=AK;
5) AK+BK+CK=KK1+B1 K1+CK=CB1, а так как расстояния от
точки K до вершин треугольника ABC минимальны, то по неравенству
треугольника точки B1, K1, K и C лежат на одной прямой;
6) Аналогично доказывается, что если треугольник CBK повернуть на
угол 60°, около точки B так, чтобы точки C2 и K2 лежали по другую сторону
от точки A относительно прямой BC, то точка K будет лежать на одной
прямой с точками A и C2;
7) Таким образом, для нахождения местоположения комбината K следует
повернуть отрезок AB около точки A и отрезок CB около точки B на 60°
так, чтобы точка B1 лежала по другую сторону от точки C относительно
прямой AB, а точка C2-по другую сторону от точки A относительно
прямой BC, тогда точка K будет лежать на пересечении прямых CB1 и AC2;
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
