Упр.9.35 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Решение #1

Изображение 35. Четыре населённых пункта расположены в вершинах параллелограмма. В каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний от неё до всех четырёх данных...
 

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:
35. Четыре населённых пункта расположены в вершинах параллелограмма. В каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний от неё до всех четырёх данных пунктов была наименьшей?

Дано: четыре населенных пункта расположены в вершинах
параллелограмма;
Найти: в каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний
от нее до всех данных пунктов была наименьшей;
Решение:
1) Обозначим данные населенные пункты через вершины A, B, C и D
параллелограмма ABCD;
2) Отметим точку O-середину параллелограмма ABCD, то есть центр
его симметрии;
3) Согласно задаче 9.8 точка O является точкой пересечения диагоналей;
4) AO+OC=AC и BO+OD=BD, тогда AO+OC+BO+OD=AC+BD;
5) Возьмем произвольную точку X, не совпадающую с точкой O;
6) По неравенству треугольника для треугольник ACX: XA+XC>AC;
7) По неравенству треугольника для треугольник BDX: XB+XD>BD;
8) Если точка X лежит на одной из диагоналей, то неравенство будет
выполняться только для одного и зтих треугольников, однако в
любом случае: XA+XB+XC+XD>AC+BD;
9) Таким образом, сумма расстояний от вершин ABCD до точки X
больше, чем до точки O, следовательно точка O-искомая;

Ответ: в центре параллелограмма.
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением