Упр.9.36 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Решение #1

Изображение 36. Как изменится ответ к предыдущей задаче, если населённые пункты находятся в вершинах выпуклого четырёхугольника?Дано:  четыре населенных пункта расположены в...
 

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:
36. Как изменится ответ к предыдущей задаче, если населённые пункты находятся в вершинах выпуклого четырёхугольника?

Дано: четыре населенных пункта расположены в вершинах выпуклого
четрыехугольника;
Найти: в каком месте следует построить фабрику, чтобы сумма расстояний
от нее до всех данных пунктов была наименьшей;
Решение:
1) Обозначим данные населенные пункты через вершины A, B, C и D
произвольного выпуклого четырехугольника ABCD;
2) Отметим точку O на пересечении диагоналей AC и BD;
3) AO+OC=AC и BO+OD=BD, тогда AO+OC+BO+OD=AC+BD;
4) Возьмем произвольную точку X, не совпадающую с точкой O;
5) По неравенству треугольника для треугольник ACX: XA+XC>AC;
6) По неравенству треугольника для треугольник BDX: XB+XD>BD;
7) Если точка X лежит на одной из диагоналей, то неравенство будет
выполняться только для одного и зтих треугольников, однако в
любом случае: XA+XB+XC+XD>AC+BD;
8) Таким образом, сумма расстояний от вершин ABCD до точки X
больше, чем до точки O, следовательно точка O-искомая;

Ответ: в точке пересечения диагоналей четырехугольника.
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением