Упр.9.18 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Решение #1
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:
18. Докажите, что если у треугольника есть ось симметрии, то: 1) она проходит через одну из его вершин; 2) треугольник равнобедренный.
Доказать: если у треугольника есть ось симметрии, то 1) она проходит
через одну из его вершин; 2) треугольник равнобедренный;
Доказательство:
Пусть дан треугольник ABC с осью симметрии a и вершина A при
преобразовании симметрии относительно прямой a переходит в
вершину B;
I) Докажем, что a проходит через вершну C:
1) Допустим, что прямая a не проходит ни через одну из вершин треугольник ABC;
2) Если точка A прямой a переходит в точку B, то прямая a является
серединным перпендикуляром к отрезку AB;
3) Точка C переходит в какую-нибудь точку C' треугольника ABC;
4) CC' перпендикулярен a и AB перпендикулярен a, следовательно CC' ||AB;
5) Так как точка C не лежит на прямой AB, то и точка C' не лежит на
этой прямой (так как AB перпендикулярен a), значит точка C' лежит на одной из
сторон AC или BC;
6) То есть у треугольника ABC две стороны параллельны, что невозможно,
следовательно наше предположение неверно и ось симметрии a проходит
через вершину C (тогда она переходит в саму себя), что и требовалось
Доказать.
II) Докажем, что треугольник ABC-равнобедренный:
1) Прямая a является серединным перпендикуляром к отрезку AB,
пусть O-точка их пересечения, тогда: AO=OB и CO перпендикулярен AB;
2) Отрезок CO является медианой и высотой треугольника ABC, значит
этот треугольник равнобедренный с основанием AB, что и требовалось
Доказать.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением
