Упр.9.20 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Решение #1

Изображение 20. Докажите, что прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются его осями симметрии (рис. 210).Доказать: ...
Дополнительное изображение
 

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 8 класс, Просвещение:
20. Докажите, что прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются его осями симметрии (рис. 210).

Доказать: прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей
прямоугольника, параллельно его сторонам, являются его осями
симметрии;
Доказательство:
1) Пусть ABCD-прямоугольник и O-точка пересечения диагоналей,
прямые MN и EF проходят через точку O параллельно сторонам ABCD,
значит эти прямые перпендикулярны двум другим сторонам и друг
другу;
2) Треугольники AOB и COD-равнобедренные (AO=OB=OC=OD),
а отрезки EO и OF их высоты, значит они являются и медианами, тогда:
AE=BE=CF=FD=1/2 AB;
3) Так как в параллелограммах BMEO и ANOE соседние стороны
перпендикулярны, то они являются прямоугольниками, тогда:
MO=BE=AE=ON;
4) Возьмем произвольную точку X на стороне BC, опустим из нее
перпендикуляр XO1 на прямую EF и отметим точку X' на пересечении
этого перпендикуляра и стороны AD;
5) Так как в параллелограммах MXO1 O и NX' O1 O соседние стороны
перпендикулярны, то они являются прямоугольниками, тогда:
XO1=MO=ON=O1 X';
6) Таким образом, точки X и X' симметричны относительно прямой EF,
а так как точка X произвольная точка отрезка BC, то отрезки BC и AD
симметричны относительно прямой EF;
7) Любая точка отрезка AB симметрична какой-нибудь другой точке
этого отрезка отсносительно EF, так как AB перпендикулярен EF, а расстояния от этих
точек до точки F меньше, чем расстояния от точек A или B до точки F;
8) Аналогично, любая точка отрезка CD симметрична какой-нибудь
другой точке этого отрезка отсносительно EF
9) Таким образом, прямая EF является осью симметрии ABCD, аналогично
доказывается и для прямой MN.
*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.
*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением