Упр.970 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что центры окружностей лежат на OAС пояснением
Обозначим центры окружностей через O₁ и O₂.1) Центр окружности, касающейся обеих сторон угла, равноудалён от этих сторон. Поэтому O₁ и O₂ лежат на биссектрисе угла O. Следовательно, точки O, O₁ и O₂ лежат на одной прямой.2) Радиусы O₁A и O₂A, проведённые в точку касания, перпендикулярны общей касательной. Через точку A можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Значит, точки O₁, A и O₂ лежат на одной прямой.3) Прямая O₁O₂ проходит и через O, и через A, поэтому она совпадает с прямой OA.Ответ: центры обеих окружностей лежат на прямой OA, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей. Так как каждая окружность касается обеих сторон угла, точки O₁ и O₂ лежат на его биссектрисе, проходящей через O. Радиусы O₁A и O₂A перпендикулярны общей касательной в точке A, поэтому O₁, A и O₂ лежат на одной прямой. Следовательно, эта прямая проходит через O и A, то есть совпадает с OA.Ответ: центры окружностей лежат на прямой OA.
Кратко Пусть O₁ и O₂ — центры окружностей. Так как каждая окружность касается обеих сторон угла, точки O₁ и O₂ лежат на его биссектрисе, проходящей через O. Радиусы O₁A и O₂A перпендикулярны общей касательной в точке A, поэтому O₁, A и O₂ лежат на одной прямой. Следовательно, эта прямая проходит через O и A, то есть совпадает с OA.Ответ: центры окружностей лежат на прямой OA.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти уравнения окружностей и их количествоС пояснением
1) Пусть центр окружности имеет координаты O(a; 0), так как он лежит на оси абсцисс.2) Так как A(1; 3) принадлежит окружности радиуса 5, то OA = 5:
(a − 1)² + (0 − 3)² = 5²,
(a − 1)² + 9 = 25,
(a − 1)² = 16,
a − 1 = 4 или a − 1 = −4,
a = 5 или a = −3.3) Получаем два центра: O₁(5; 0) и O₂(−3; 0). Поэтому уравнения окружностей:
(x − 5)² + y² = 25;
(x + 3)² + y² = 25.Ответ: (x − 5)² + y² = 25 и (x + 3)² + y² = 25; существуют 2 окружности.
Кратко Центр имеет вид O(a; 0). Тогда
(a − 1)² + 3² = 5²,
(a − 1)² = 16,
a = 5 или a = −3.Уравнения окружностей:
(x − 5)² + y² = 25;
(x + 3)² + y² = 25.Ответ: существуют 2 окружности.
(a − 1)² + (0 − 3)² = 5²,
(a − 1)² + 9 = 25,
(a − 1)² = 16,
a − 1 = 4 или a − 1 = −4,
a = 5 или a = −3.3) Получаем два центра: O₁(5; 0) и O₂(−3; 0). Поэтому уравнения окружностей:
(x − 5)² + y² = 25;
(x + 3)² + y² = 25.Ответ: (x − 5)² + y² = 25 и (x + 3)² + y² = 25; существуют 2 окружности.
Кратко Центр имеет вид O(a; 0). Тогда
(a − 1)² + 3² = 5²,
(a − 1)² = 16,
a = 5 или a = −3.Уравнения окружностей:
(x − 5)² + y² = 25;
(x + 3)² + y² = 25.Ответ: существуют 2 окружности.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны AD, точка G — середина стороны ВС. Выразите векторы ЕС и AG через векторы DC = а и ВС = b.
Задание учебника 2023 года
Напишите уравнение окружности, проходящей через точку А(1;3), если известно, что центр окружности лежит на оси абсцисс, а радиус равен 5. Сколько существует таких окружностей?
