Упр.916 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать теорему ЧевыС пояснением
Обозначим точку пересечения прямых AA₁, BB₁ и CC₁ через O, а площадь треугольника XYZ — через SXYZ.1) Треугольники AOC₁ и BOC₁ имеют общую высоту, проведённую из O к прямой AB, поэтому
AC₁/C₁B = SAOC₁/SBOC₁.
Так как точки C, O и C₁ лежат на одной прямой, то
SAOC₁/SBOC₁ = SAOC/SBOC.
Следовательно,
AC₁/C₁B = SAOC/SBOC.2) Аналогично получаем:
BA₁/A₁C = SBOA/SCOA,
CB₁/B₁A = SCOB/SAOB.3) Перемножим равенства:
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) =
(SAOC/SBOC)·(SBOA/SCOA)·(SCOB/SAOB) = 1,
так как одинаковые площади в числителях и знаменателях сокращаются.Если точки лежат на продолжениях сторон, рассуждение остаётся верным для направленных отрезков и площадей со знаками.Ответ: (AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) = 1.
Кратко Пусть O — общая точка прямых AA₁, BB₁ и CC₁. По отношению площадей треугольников с общей высотой:
AC₁/C₁B = SAOC/SBOC,
BA₁/A₁C = SBOA/SCOA,
CB₁/B₁A = SCOB/SAOB.Перемножая равенства, получаем:
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) =
(SAOC/SBOC)·(SBOA/SCOA)·(SCOB/SAOB) = 1.
Для точек на продолжениях сторон используются направленные отрезки.Ответ: равенство доказано.
AC₁/C₁B = SAOC₁/SBOC₁.
Так как точки C, O и C₁ лежат на одной прямой, то
SAOC₁/SBOC₁ = SAOC/SBOC.
Следовательно,
AC₁/C₁B = SAOC/SBOC.2) Аналогично получаем:
BA₁/A₁C = SBOA/SCOA,
CB₁/B₁A = SCOB/SAOB.3) Перемножим равенства:
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) =
(SAOC/SBOC)·(SBOA/SCOA)·(SCOB/SAOB) = 1,
так как одинаковые площади в числителях и знаменателях сокращаются.Если точки лежат на продолжениях сторон, рассуждение остаётся верным для направленных отрезков и площадей со знаками.Ответ: (AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) = 1.
Кратко Пусть O — общая точка прямых AA₁, BB₁ и CC₁. По отношению площадей треугольников с общей высотой:
AC₁/C₁B = SAOC/SBOC,
BA₁/A₁C = SBOA/SCOA,
CB₁/B₁A = SCOB/SAOB.Перемножая равенства, получаем:
(AC₁/C₁B)·(BA₁/A₁C)·(CB₁/B₁A) =
(SAOC/SBOC)·(SBOA/SCOA)·(SCOB/SAOB) = 1.
Для точек на продолжениях сторон используются направленные отрезки.Ответ: равенство доказано.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Найдите x и y в векторном равенстве
Найдите x и y в векторном равенствеС пояснением
1) Перенесём все слагаемые в левую часть:
(3 − y)a + (−x − 1)b = 0.2) Так как векторы a и b неколлинеарны, равенство возможно только тогда, когда оба коэффициента равны нулю:
3 − y = 0,
−x − 1 = 0.3) Получаем:
y = 3,
x = −1.Ответ: x = −1, y = 3.
Кратко 3a − xb = ya + b.
Коэффициенты при неколлинеарных векторах должны быть равны:
3 = y, −x = 1.
Отсюда x = −1, y = 3.Ответ: x = −1, y = 3.
(3 − y)a + (−x − 1)b = 0.2) Так как векторы a и b неколлинеарны, равенство возможно только тогда, когда оба коэффициента равны нулю:
3 − y = 0,
−x − 1 = 0.3) Получаем:
y = 3,
x = −1.Ответ: x = −1, y = 3.
Кратко 3a − xb = ya + b.
Коэффициенты при неколлинеарных векторах должны быть равны:
3 = y, −x = 1.
Отсюда x = −1, y = 3.Ответ: x = −1, y = 3.
Разбор 2 Найдите x и y в векторном равенстве
Найдите x и y в векторном равенствеС пояснением
1) Приведём подобные слагаемые:
(4 − x)a + (5 + y)b = 0.2) Так как векторы a и b неколлинеарны, их линейная комбинация равна нулевому вектору только тогда, когда оба коэффициента равны нулю:
4 − x = 0,
5 + y = 0.3) Отсюда:
x = 4,
y = −5.Ответ: x = 4, y = −5.
Кратко (4 − x)a + (5 + y)b = 0.
Так как a и b неколлинеарны, то:
4 − x = 0, 5 + y = 0.
Следовательно, x = 4, y = −5.Ответ: x = 4, y = −5.
(4 − x)a + (5 + y)b = 0.2) Так как векторы a и b неколлинеарны, их линейная комбинация равна нулевому вектору только тогда, когда оба коэффициента равны нулю:
4 − x = 0,
5 + y = 0.3) Отсюда:
x = 4,
y = −5.Ответ: x = 4, y = −5.
Кратко (4 − x)a + (5 + y)b = 0.
Так как a и b неколлинеарны, то:
4 − x = 0, 5 + y = 0.
Следовательно, x = 4, y = −5.Ответ: x = 4, y = −5.
Разбор 3 Найдите x и y в векторном равенстве
Найдите x и y в векторном равенствеС пояснением
1) Перепишем равенство:
x a + (3 − y)b = 0.2) Так как векторы a и b неколлинеарны, их линейная комбинация равна нулевому вектору только тогда, когда оба коэффициента равны нулю:
x = 0,
3 − y = 0.3) Из второго равенства получаем y = 3.Ответ: x = 0, y = 3.
Кратко x a + (3 − y)b = 0.
Поскольку a и b неколлинеарны, x = 0 и 3 − y = 0. Значит, y = 3.Ответ: x = 0, y = 3.
x a + (3 − y)b = 0.2) Так как векторы a и b неколлинеарны, их линейная комбинация равна нулевому вектору только тогда, когда оба коэффициента равны нулю:
x = 0,
3 − y = 0.3) Из второго равенства получаем y = 3.Ответ: x = 0, y = 3.
Кратко x a + (3 − y)b = 0.
Поскольку a и b неколлинеарны, x = 0 и 3 − y = 0. Значит, y = 3.Ответ: x = 0, y = 3.
Разбор 4 Найдите x и y в векторном равенстве
Найдите x и y в векторном равенствеС пояснением
1) Приведём подобные слагаемые:
(1 − 3y)a + (1 + x)b = 0.2) Так как векторы a и b неколлинеарны, равенство возможно, только если оба коэффициента равны нулю:
1 − 3y = 0,
1 + x = 0.3) Решим уравнения:
y = 1/3,
x = −1.Ответ: x = −1, y = 1/3.
Кратко (1 − 3y)a + (1 + x)b = 0.
Так как a и b неколлинеарны:
1 − 3y = 0, 1 + x = 0.Ответ: x = −1, y = 1/3.
(1 − 3y)a + (1 + x)b = 0.2) Так как векторы a и b неколлинеарны, равенство возможно, только если оба коэффициента равны нулю:
1 − 3y = 0,
1 + x = 0.3) Решим уравнения:
y = 1/3,
x = −1.Ответ: x = −1, y = 1/3.
Кратко (1 − 3y)a + (1 + x)b = 0.
Так как a и b неколлинеарны:
1 − 3y = 0, 1 + x = 0.Ответ: x = −1, y = 1/3.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что в любом четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон (теорема Птолемея).
Задание учебника 2023 года
Векторы а и b не коллинеарны. Найдите числа х и у, удовлетворяющие равенству: а) 3а - xb = уа + b; б) 4а - ха + 5b + уb = 0; в) ха + 36 - yb = 0; г) а + b - Зуа + xb = 0.
