Упр.922 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать существование точки НагеляС пояснением
Пусть a = BC, b = CA, c = AB, а p = (a + b + c) : 2. Обозначим через D, E, F точки касания соответствующих вневписанных окружностей со сторонами BC, CA, AB.1) Найдём части, на которые точка D делит сторону BC. Равные касательные, проведённые из одной точки к окружности, имеют равные длины. Поэтому, обозначив BD = x, CD = y, получим:
x + y = a,
c + x = b + y.
Отсюда BD = p − c, CD = p − b.2) Аналогично для остальных сторон:
CE = p − a, EA = p − c;
AF = p − b, FB = p − a.3) Проверим равенство из обратной теоремы Чевы:
BD/CD · CE/EA · AF/FB =
= (p − c)/(p − b) · (p − a)/(p − c) · (p − b)/(p − a) = 1.Следовательно, по обратной теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Нагеля.Ответ: отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
Кратко Пусть a = BC, b = CA, c = AB, p — полупериметр треугольника. Для точек касания D ∈ BC, E ∈ CA, F ∈ AB из равенства касательных получаем:
BD = p − c, CD = p − b;
CE = p − a, EA = p − c;
AF = p − b, FB = p − a.Тогда
BD/CD · CE/EA · AF/FB =
= (p − c)/(p − b) · (p − a)/(p − c) · (p − b)/(p − a) = 1.По обратной теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке.Ответ: общая точка этих отрезков — точка Нагеля.
x + y = a,
c + x = b + y.
Отсюда BD = p − c, CD = p − b.2) Аналогично для остальных сторон:
CE = p − a, EA = p − c;
AF = p − b, FB = p − a.3) Проверим равенство из обратной теоремы Чевы:
BD/CD · CE/EA · AF/FB =
= (p − c)/(p − b) · (p − a)/(p − c) · (p − b)/(p − a) = 1.Следовательно, по обратной теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Нагеля.Ответ: отрезки пересекаются в одной точке — точке Нагеля.
Кратко Пусть a = BC, b = CA, c = AB, p — полупериметр треугольника. Для точек касания D ∈ BC, E ∈ CA, F ∈ AB из равенства касательных получаем:
BD = p − c, CD = p − b;
CE = p − a, EA = p − c;
AF = p − b, FB = p − a.Тогда
BD/CD · CE/EA · AF/FB =
= (p − c)/(p − b) · (p − a)/(p − c) · (p − b)/(p − a) = 1.По обратной теореме Чевы отрезки AD, BE и CF пересекаются в одной точке.Ответ: общая точка этих отрезков — точка Нагеля.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти координаты векторов a + bС пояснением
Чтобы сложить векторы, складываем их соответствующие координаты:а) a + b = {3 + 2; 2 + 5} = {5; 7};
б) a + b = {3 + 1; −4 + 5} = {4; 1};
в) a + b = {−4 + 5; −2 + 3} = {1; 1};
г) a + b = {2 + (−3); 7 + (−7)} = {−1; 0}.Ответ: а) {5; 7}; б) {4; 1}; в) {1; 1}; г) {−1; 0}.
Кратко а) a + b = {3 + 2; 2 + 5} = {5; 7};
б) a + b = {3 + 1; −4 + 5} = {4; 1};
в) a + b = {−4 + 5; −2 + 3} = {1; 1};
г) a + b = {2 − 3; 7 − 7} = {−1; 0}.Ответ: а) {5; 7}; б) {4; 1}; в) {1; 1}; г) {−1; 0}.
б) a + b = {3 + 1; −4 + 5} = {4; 1};
в) a + b = {−4 + 5; −2 + 3} = {1; 1};
г) a + b = {2 + (−3); 7 + (−7)} = {−1; 0}.Ответ: а) {5; 7}; б) {4; 1}; в) {1; 1}; г) {−1; 0}.
Кратко а) a + b = {3 + 2; 2 + 5} = {5; 7};
б) a + b = {3 + 1; −4 + 5} = {4; 1};
в) a + b = {−4 + 5; −2 + 3} = {1; 1};
г) a + b = {2 − 3; 7 − 7} = {−1; 0}.Ответ: а) {5; 7}; б) {4; 1}; в) {1; 1}; г) {−1; 0}.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Внутри окружности дана точка. Постройте хорду, проходящую через эту точку, так, чтобы она была наименьшей из всех хорд, проходящих через эту точку.
Задание учебника 2023 года
Найдите координаты вектора а + b, если: а) а {3; 2}, b {2; 5}; б) а {3; -4}, b {1; 5}; в) а {-4; -2}, b {5; 3}; г) а {2; 7}, b {-3; -7}.
