Упр.919 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать теорему Ван-ОбеляС пояснением
Обозначим площади треугольников BOC, COA и AOB соответственно через S₁, S₂ и S₃.1) Треугольники AOC и AOB имеют общее основание AO. Расстояния от C и B до прямой AO пропорциональны отрезкам CA₁ и A₁B, поэтому
S₂/S₃ = CA₁/A₁B.2) Аналогично треугольники BOC и BOA имеют общее основание BO. Так как B₁ лежит на AC, получаем
S₁/S₃ = CB₁/B₁A.3) Треугольники ABC и AOB имеют общее основание AB. Их высоты пропорциональны отрезкам CC₁ и OC₁, так как C, O и C₁ лежат на одной прямой. Следовательно,
(S₁ + S₂ + S₃)/S₃ = CC₁/OC₁ = (CO + OC₁)/OC₁ = CO/OC₁ + 1.Отсюда
CO/OC₁ = (S₁ + S₂)/S₃ = S₂/S₃ + S₁/S₃ = CA₁/A₁B + CB₁/B₁A.Ответ: CO/OC₁ = CA₁/A₁B + CB₁/B₁A, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть S₁ = S△BOC, S₂ = S△COA, S₃ = S△AOB.1) S₂/S₃ = CA₁/A₁B, так как треугольники COA и BOA имеют общее основание AO.
2) S₁/S₃ = CB₁/B₁A, так как треугольники BOC и BOA имеют общее основание BO.
3) Поскольку C, O, C₁ лежат на одной прямой,
CO/OC₁ = (S₁ + S₂)/S₃.Значит,
CO/OC₁ = S₁/S₃ + S₂/S₃ = CB₁/B₁A + CA₁/A₁B.Ответ: равенство доказано.
S₂/S₃ = CA₁/A₁B.2) Аналогично треугольники BOC и BOA имеют общее основание BO. Так как B₁ лежит на AC, получаем
S₁/S₃ = CB₁/B₁A.3) Треугольники ABC и AOB имеют общее основание AB. Их высоты пропорциональны отрезкам CC₁ и OC₁, так как C, O и C₁ лежат на одной прямой. Следовательно,
(S₁ + S₂ + S₃)/S₃ = CC₁/OC₁ = (CO + OC₁)/OC₁ = CO/OC₁ + 1.Отсюда
CO/OC₁ = (S₁ + S₂)/S₃ = S₂/S₃ + S₁/S₃ = CA₁/A₁B + CB₁/B₁A.Ответ: CO/OC₁ = CA₁/A₁B + CB₁/B₁A, что и требовалось доказать.
Кратко Пусть S₁ = S△BOC, S₂ = S△COA, S₃ = S△AOB.1) S₂/S₃ = CA₁/A₁B, так как треугольники COA и BOA имеют общее основание AO.
2) S₁/S₃ = CB₁/B₁A, так как треугольники BOC и BOA имеют общее основание BO.
3) Поскольку C, O, C₁ лежат на одной прямой,
CO/OC₁ = (S₁ + S₂)/S₃.Значит,
CO/OC₁ = S₁/S₃ + S₂/S₃ = CB₁/B₁A + CA₁/A₁B.Ответ: равенство доказано.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Выпишите координаты данных векторовС пояснением
Коэффициент при i — первая координата вектора, а коэффициент при j — вторая. Если одного из слагаемых нет, соответствующая координата равна 0.1) a = (2; 3).
2) b = (−1/2; 2).
3) c = (8; 0).
4) d = (1; −1).
5) e = (0; −2).
6) f = (−1; 0).Ответ: a(2; 3), b(−1/2; 2), c(8; 0), d(1; −1), e(0; −2), f(−1; 0).
Кратко a(2; 3), b(−1/2; 2), c(8; 0), d(1; −1), e(0; −2), f(−1; 0).Ответ: a(2; 3), b(−1/2; 2), c(8; 0), d(1; −1), e(0; −2), f(−1; 0).
2) b = (−1/2; 2).
3) c = (8; 0).
4) d = (1; −1).
5) e = (0; −2).
6) f = (−1; 0).Ответ: a(2; 3), b(−1/2; 2), c(8; 0), d(1; −1), e(0; −2), f(−1; 0).
Кратко a(2; 3), b(−1/2; 2), c(8; 0), d(1; −1), e(0; −2), f(−1; 0).Ответ: a(2; 3), b(−1/2; 2), c(8; 0), d(1; −1), e(0; −2), f(−1; 0).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что основания перпендикуляров, проведённых из произвольной точки окружности, описанной около треугольника, к прямым, содержащим стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).
Задание учебника 2023 года
Выпишите координаты векторов a = 2i + 3j, b = -1/2i + 2j, с = 8i, d = i-j, e=-2j, f = -i.
