Упр.879 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать отношение площадей треугольниковС пояснением
1) Обозначим через O точку пересечения медиан треугольника ABC. Тогда
AO = 2/3 m_a, BO = 2/3 m_b, CO = 2/3 m_c.2) Пусть M — середина BC. Так как AO = 2OM, а M — середина BC, по правилу параллелограмма отрезок CO равен диагонали параллелограмма, построенного на отрезках AO и BO. Поэтому из отрезков AO, BO и CO можно составить треугольник, площадь которого равна площади треугольника AOB.3) Три медианы делят треугольник ABC на 6 равновеликих треугольников. Треугольник AOB состоит из двух таких треугольников, поэтому
S_AOB = 1/3 S_ABC.4) Стороны треугольника EFG равны медианам, то есть в 3/2 раза больше соответствующих сторон составленного треугольника со сторонами AO, BO, CO. Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон:
S_EFG = (3/2)² · S_AOB = 9/4 · 1/3 S_ABC = 3/4 S_ABC.Ответ: S_EFG/S_ABC = 3/4.
Кратко Пусть O — точка пересечения медиан. Из отрезков AO, BO и CO можно составить треугольник, площадь которого равна S_AOB = 1/3 S_ABC.Его стороны составляют 2/3 соответствующих медиан, поэтому треугольник EFG подобен ему с коэффициентом 3/2. Тогда
S_EFG/S_ABC = (3/2)² · 1/3 = 3/4.Ответ: 3/4.
AO = 2/3 m_a, BO = 2/3 m_b, CO = 2/3 m_c.2) Пусть M — середина BC. Так как AO = 2OM, а M — середина BC, по правилу параллелограмма отрезок CO равен диагонали параллелограмма, построенного на отрезках AO и BO. Поэтому из отрезков AO, BO и CO можно составить треугольник, площадь которого равна площади треугольника AOB.3) Три медианы делят треугольник ABC на 6 равновеликих треугольников. Треугольник AOB состоит из двух таких треугольников, поэтому
S_AOB = 1/3 S_ABC.4) Стороны треугольника EFG равны медианам, то есть в 3/2 раза больше соответствующих сторон составленного треугольника со сторонами AO, BO, CO. Площади подобных треугольников относятся как квадраты соответствующих сторон:
S_EFG = (3/2)² · S_AOB = 9/4 · 1/3 S_ABC = 3/4 S_ABC.Ответ: S_EFG/S_ABC = 3/4.
Кратко Пусть O — точка пересечения медиан. Из отрезков AO, BO и CO можно составить треугольник, площадь которого равна S_AOB = 1/3 S_ABC.Его стороны составляют 2/3 соответствующих медиан, поэтому треугольник EFG подобен ему с коэффициентом 3/2. Тогда
S_EFG/S_ABC = (3/2)² · 1/3 = 3/4.Ответ: 3/4.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что AM = ANС пояснением
1) Так как B₁ — середина дуги AB, то хорды AB₁ и B₁B равны. Кроме того, OA = OB. Значит, точки O и B₁ равноудалены от A и B, поэтому OB₁ — серединный перпендикуляр к AB. Следовательно, OB₁ ⟂ AB.2) Аналогично, поскольку C₁ — середина дуги AC, получаем OC₁ ⟂ AC.3) В треугольнике OB₁C₁ стороны OB₁ и OC₁ равны как радиусы окружности. Поэтому углы при основании B₁C₁ равны:
∠OB₁C₁ = ∠B₁C₁O.4) Прямые AB и AC перпендикулярны соответственно OB₁ и OC₁, поэтому хорда B₁C₁ образует с AB и AC равные углы. Следовательно,
∠AMN = ∠MNA.5) В треугольнике AMN против равных углов лежат равные стороны, значит, AM = AN.Ответ: AM = AN.
Кратко Пусть O — центр окружности. Так как B₁ и C₁ — середины дуг AB и AC, то OB₁ ⟂ AB и OC₁ ⟂ AC. Треугольник OB₁C₁ равнобедренный, поэтому B₁C₁ образует с AB и AC равные углы. Значит, ∠AMN = ∠MNA, откуда AM = AN.Ответ: AM = AN.
∠OB₁C₁ = ∠B₁C₁O.4) Прямые AB и AC перпендикулярны соответственно OB₁ и OC₁, поэтому хорда B₁C₁ образует с AB и AC равные углы. Следовательно,
∠AMN = ∠MNA.5) В треугольнике AMN против равных углов лежат равные стороны, значит, AM = AN.Ответ: AM = AN.
Кратко Пусть O — центр окружности. Так как B₁ и C₁ — середины дуг AB и AC, то OB₁ ⟂ AB и OC₁ ⟂ AC. Треугольник OB₁C₁ равнобедренный, поэтому B₁C₁ образует с AB и AC равные углы. Значит, ∠AMN = ∠MNA, откуда AM = AN.Ответ: AM = AN.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Стороны треугольника EFG соответственно равны медианам треугольника ABC. Докажите, что SEFG/SABC=3/4.
Задание учебника 2023 года
Точки В1 и С1 — середины дуг АВ и АС (рис. 271). Докажите, что AM = AN.
