Упр.874 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равносторонность треугольника из серединС пояснением
Обозначим через M, N и P середины отрезков OA, OD и BC соответственно.1) Так как AB ∥ CD, треугольники AOB и COD подобны. Из OA = OB следует OC = OD. Кроме того, ∠COD = ∠AOB = 60°, поэтому треугольник COD также равносторонний.2) Пусть OA = a, OC = b. Введём координаты с началом в точке O и осью Ox вдоль OA. Тогда
A(a; 0), B(a/2; √3a/2),
C(−b; 0), D(−b/2; −√3b/2).3) Координаты середин:
M(a/2; 0),
N(−b/4; −√3b/4),
P(a/4 − b/2; √3a/4).4) По теореме Пифагора:
MN² = (a/2 + b/4)² + (√3b/4)² = (a² + ab + b²)/4;
MP² = (a/4 + b/2)² + (√3a/4)² = (a² + ab + b²)/4;
NP² = (a/4 − b/4)² + (√3(a + b)/4)² = (a² + ab + b²)/4.Следовательно, MN² = MP² = NP², значит, MN = MP = NP.Ответ: треугольник MNP равносторонний.
Кратко Пусть M, N и P — середины OA, OD и BC. Треугольники AOB и COD подобны, поэтому из OA = OB получаем OC = OD. Следовательно, COD тоже равносторонний.Обозначим OA = a, OC = b и введём координаты:
A(a; 0), B(a/2; √3a/2), C(−b; 0), D(−b/2; −√3b/2).
Тогда
M(a/2; 0), N(−b/4; −√3b/4), P(a/4 − b/2; √3a/4).По формуле расстояния:
MN² = MP² = NP² = (a² + ab + b²)/4.
Значит, MN = MP = NP.Ответ: треугольник MNP равносторонний.
A(a; 0), B(a/2; √3a/2),
C(−b; 0), D(−b/2; −√3b/2).3) Координаты середин:
M(a/2; 0),
N(−b/4; −√3b/4),
P(a/4 − b/2; √3a/4).4) По теореме Пифагора:
MN² = (a/2 + b/4)² + (√3b/4)² = (a² + ab + b²)/4;
MP² = (a/4 + b/2)² + (√3a/4)² = (a² + ab + b²)/4;
NP² = (a/4 − b/4)² + (√3(a + b)/4)² = (a² + ab + b²)/4.Следовательно, MN² = MP² = NP², значит, MN = MP = NP.Ответ: треугольник MNP равносторонний.
Кратко Пусть M, N и P — середины OA, OD и BC. Треугольники AOB и COD подобны, поэтому из OA = OB получаем OC = OD. Следовательно, COD тоже равносторонний.Обозначим OA = a, OC = b и введём координаты:
A(a; 0), B(a/2; √3a/2), C(−b; 0), D(−b/2; −√3b/2).
Тогда
M(a/2; 0), N(−b/4; −√3b/4), P(a/4 − b/2; √3a/4).По формуле расстояния:
MN² = MP² = NP² = (a² + ab + b²)/4.
Значит, MN = MP = NP.Ответ: треугольник MNP равносторонний.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить треугольник по трём высотамС пояснением
Пусть даны высоты hₐ, h_b и h_c.1) Выберем произвольный отрезок e. С помощью подобных треугольников построим отрезки xₐ, x_b, x_c так, чтобы
hₐ·xₐ = h_b·x_b = h_c·x_c = e².
Значит, xₐ : x_b : x_c = 1/hₐ : 1/h_b : 1/h_c.2) По трём сторонам xₐ, x_b, x_c построим вспомогательный треугольник A₁B₁C₁, где B₁C₁ = xₐ, A₁C₁ = x_b, A₁B₁ = x_c.3) Проведём в нём высоту kₐ к стороне xₐ.4) Построим треугольник ABC, подобный A₁B₁C₁, с коэффициентом подобия hₐ/kₐ. Для этого на луче с началом A₁ отложим отрезок A₁A = hₐ, а на другом луче — A₁K = kₐ; дальнейшее построение выполним с помощью параллельных прямых.При подобии все высоты изменяются в одном отношении, поэтому высота нового треугольника, соответствующая kₐ, равна hₐ. Кроме того, из равенства площадей
xₐkₐ = x_bk_b = x_ck_c
следует, что остальные высоты нового треугольника равны h_b и h_c.Построение возможно, если отрезки xₐ, x_b, x_c удовлетворяют неравенствам треугольника.Ответ: искомый треугольник ABC построен.
Кратко 1) Выбрать произвольный отрезок e и построить отрезки xₐ, x_b, x_c из равенств hₐxₐ = h_bx_b = h_cx_c = e².
2) Построить вспомогательный треугольник со сторонами xₐ, x_b, x_c.
3) Найти его высоту kₐ к стороне xₐ.
4) Построить подобный ему треугольник с коэффициентом hₐ : kₐ.Ответ: полученный треугольник имеет заданные высоты hₐ, h_b и h_c.
hₐ·xₐ = h_b·x_b = h_c·x_c = e².
Значит, xₐ : x_b : x_c = 1/hₐ : 1/h_b : 1/h_c.2) По трём сторонам xₐ, x_b, x_c построим вспомогательный треугольник A₁B₁C₁, где B₁C₁ = xₐ, A₁C₁ = x_b, A₁B₁ = x_c.3) Проведём в нём высоту kₐ к стороне xₐ.4) Построим треугольник ABC, подобный A₁B₁C₁, с коэффициентом подобия hₐ/kₐ. Для этого на луче с началом A₁ отложим отрезок A₁A = hₐ, а на другом луче — A₁K = kₐ; дальнейшее построение выполним с помощью параллельных прямых.При подобии все высоты изменяются в одном отношении, поэтому высота нового треугольника, соответствующая kₐ, равна hₐ. Кроме того, из равенства площадей
xₐkₐ = x_bk_b = x_ck_c
следует, что остальные высоты нового треугольника равны h_b и h_c.Построение возможно, если отрезки xₐ, x_b, x_c удовлетворяют неравенствам треугольника.Ответ: искомый треугольник ABC построен.
Кратко 1) Выбрать произвольный отрезок e и построить отрезки xₐ, x_b, x_c из равенств hₐxₐ = h_bx_b = h_cx_c = e².
2) Построить вспомогательный треугольник со сторонами xₐ, x_b, x_c.
3) Найти его высоту kₐ к стороне xₐ.
4) Построить подобный ему треугольник с коэффициентом hₐ : kₐ.Ответ: полученный треугольник имеет заданные высоты hₐ, h_b и h_c.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке О. Треугольник АВО, где АВ — меньшее основание трапеции, равносторонний. Докажите, что треугольник, вершинами которого являются середины отрезков ОА, OD и ВС, равносторонний.
Задание учебника 2023 года
Постройте треугольник по трём высотам.
