Упр.876 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что середины трёх отрезков не коллинеарныС пояснением
Обозначим через D, E и F середины сторон BC, CA и AB соответственно, а через M, N и P — середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁.1) В треугольнике ABA₁ отрезок FM соединяет середины сторон AB и AA₁, поэтому FM ∥ BA₁, то есть FM ∥ BC. Аналогично EM ∥ BC. Значит, точки E, M, F лежат на одной прямой. Так как A₁ — внутренняя точка BC, точка M лежит внутри стороны EF треугольника DEF.2) Таким же образом получаем, что N лежит внутри стороны FD, а P — внутри стороны DE треугольника DEF.3) Одна прямая не может проходить через внутренние точки всех трёх сторон треугольника: она пересекает его границу не более чем в двух точках. Если же прямая совпадает с одной из сторон, то она не проходит через внутренние точки двух других сторон.Следовательно, точки M, N и P не лежат на одной прямой.Ответ: середины отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ не лежат на одной прямой.
Кратко Пусть D, E, F — середины BC, CA, AB, а M, N, P — середины AA₁, BB₁, CC₁.По свойству средней линии треугольника M лежит внутри EF, N — внутри FD, P — внутри DE. Значит, M, N и P находятся на трёх разных сторонах треугольника DEF. Одна прямая не может пересекать все три стороны треугольника во внутренних точках.Ответ: точки M, N и P не лежат на одной прямой.
Кратко Пусть D, E, F — середины BC, CA, AB, а M, N, P — середины AA₁, BB₁, CC₁.По свойству средней линии треугольника M лежит внутри EF, N — внутри FD, P — внутри DE. Значит, M, N и P находятся на трёх разных сторонах треугольника DEF. Одна прямая не может пересекать все три стороны треугольника во внутренних точках.Ответ: точки M, N и P не лежат на одной прямой.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить равновеликие квадрат и ромбС пояснением
Пусть a — сторона данного квадрата, а данные отрезки равны u и v.1) Построим отрезок r так, чтобы a : r = u : v. Для этого используем построение четвёртого пропорционального отрезка.
2) Построим отрезок 2a.
3) Построим среднее пропорциональное q между отрезками 2a и r, то есть q² = 2a · r. Для этого на отрезке длиной 2a + r строим полуокружность и восстанавливаем перпендикуляр из точки, разделяющей его на части 2a и r. Длина перпендикуляра равна q.
4) Построим отрезок p из пропорции p : q = u : v.
5) Проведём взаимно перпендикулярные отрезки p и q так, чтобы они делились точкой пересечения пополам. Соединим их концы. Полученный четырёхугольник — ромб.
6) Проверим площадь. Из a : r = u : v следует r = av/u. Поэтому
pq = (u/v)q² = (u/v) · 2a · r = 2a².
Следовательно, площадь ромба равна pq/2 = a², то есть площади данного квадрата.Ответ: ромб с построенными диагоналями p и q удовлетворяет условию.
Кратко Пусть a — сторона квадрата, u и v — данные отрезки.1) Построить r из пропорции a : r = u : v.
2) Построить q как среднее пропорциональное между 2a и r: q² = 2a · r.
3) Построить p из пропорции p : q = u : v.
4) На взаимно перпендикулярных прямых отложить половины p и q от общей середины и соединить полученные точки.Так как pq = 2a², площадь ромба равна pq/2 = a².Ответ: полученный ромб равновелик данному квадрату, а его диагонали относятся как u : v.
2) Построим отрезок 2a.
3) Построим среднее пропорциональное q между отрезками 2a и r, то есть q² = 2a · r. Для этого на отрезке длиной 2a + r строим полуокружность и восстанавливаем перпендикуляр из точки, разделяющей его на части 2a и r. Длина перпендикуляра равна q.
4) Построим отрезок p из пропорции p : q = u : v.
5) Проведём взаимно перпендикулярные отрезки p и q так, чтобы они делились точкой пересечения пополам. Соединим их концы. Полученный четырёхугольник — ромб.
6) Проверим площадь. Из a : r = u : v следует r = av/u. Поэтому
pq = (u/v)q² = (u/v) · 2a · r = 2a².
Следовательно, площадь ромба равна pq/2 = a², то есть площади данного квадрата.Ответ: ромб с построенными диагоналями p и q удовлетворяет условию.
Кратко Пусть a — сторона квадрата, u и v — данные отрезки.1) Построить r из пропорции a : r = u : v.
2) Построить q как среднее пропорциональное между 2a и r: q² = 2a · r.
3) Построить p из пропорции p : q = u : v.
4) На взаимно перпендикулярных прямых отложить половины p и q от общей середины и соединить полученные точки.Так как pq = 2a², площадь ромба равна pq/2 = a².Ответ: полученный ромб равновелик данному квадрату, а его диагонали относятся как u : v.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Отрезки АА1 ВВ1 и СС1 соединяют вершины треугольника ABC с внутренними точками противоположных сторон. Докажите, что середины этих отрезков не лежат на одной прямой.
Задание учебника 2023 года
Постройте ромб, площадь которого равна площади квадрата, если известно, что отношение диагоналей этого ромба равно отношению данных отрезков.
