Упр.875 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что MK равен полупериметру △ABCС пояснением
1) Отразим точку A относительно биссектрисы внешнего угла при вершине B и обозначим полученную точку D. Так как AM перпендикулярна этой биссектрисе, точка M — середина AD.При отражении луч BA переходит в луч, противоположный лучу BC. Поэтому D лежит на продолжении BC за точку B и BD = BA.2) Аналогично отразим точку A относительно биссектрисы внешнего угла при вершине C и обозначим полученную точку E. Тогда K — середина AE, точка E лежит на продолжении BC за точку C и CE = CA.3) Точки D, B, C, E лежат на одной прямой, поэтому
DE = DB + BC + CE = AB + BC + CA.4) В треугольнике ADE точки M и K — середины сторон AD и AE. Следовательно, MK — средняя линия треугольника ADE:
MK = DE : 2 = (AB + BC + CA) : 2.Ответ: MK равен половине периметра треугольника ABC.
Кратко Отразим A относительно биссектрис внешних углов при B и C в точки D и E. Тогда M и K — середины AD и AE, причём D, B, C, E лежат на одной прямой, DB = AB и CE = AC.В △ADE отрезок MK — средняя линия, поэтому
MK = DE/2 = (AB + BC + CA)/2.Ответ: MK равен половине периметра △ABC.
DE = DB + BC + CE = AB + BC + CA.4) В треугольнике ADE точки M и K — середины сторон AD и AE. Следовательно, MK — средняя линия треугольника ADE:
MK = DE : 2 = (AB + BC + CA) : 2.Ответ: MK равен половине периметра треугольника ABC.
Кратко Отразим A относительно биссектрис внешних углов при B и C в точки D и E. Тогда M и K — середины AD и AE, причём D, B, C, E лежат на одной прямой, DB = AB и CE = AC.В △ADE отрезок MK — средняя линия, поэтому
MK = DE/2 = (AB + BC + CA)/2.Ответ: MK равен половине периметра △ABC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить трапецию по четырём заданным элементамС пояснением
Пусть требуется построить трапецию ABCD, где AD — большее основание, AB — данная боковая сторона, ∠BAD — данный угол, а BC : CD = m : n.1) Построим отрезок AD, равный данному большему основанию.
2) В точке A построим данный угол BAD и на его стороне отложим данную боковую сторону AB.
3) Через B проведём прямую l, параллельную AD. На ней должна лежать вершина C.
4) Построим геометрическое место точек X, для которых XB : XD = m : n. Если m ≠ n, для этого разделим BD внутри и вне в отношении m : n, получив точки E и F, и построим окружность с диаметром EF — окружность Аполлония.
5) Точка C находится в пересечении прямой l с построенной окружностью. Выберем те точки пересечения, при которых получается выпуклая трапеция и BC < AD.
6) Соединим C и D. Тогда BC ∥ AD, поэтому ABCD — трапеция, а по построению BC : CD = m : n.Если m = n, вместо окружности строим серединный перпендикуляр к BD: его точки равноудалены от B и D.Ответ: искомая трапеция ABCD построена; все подходящие точки пересечения дают возможные решения.
Кратко Обозначим искомую трапецию ABCD, где AD — большее основание, AB — данная боковая сторона, BC : CD = m : n.1) Построить данные AD, ∠BAD и AB.
2) Через B провести прямую, параллельную AD.
3) Построить окружность Аполлония для точек B и D с отношением расстояний m : n.
4) Её подходящее пересечение с параллельной прямой обозначить C и провести CD.При m = n вместо окружности используется серединный перпендикуляр к BD.Ответ: ABCD — искомая трапеция.
2) В точке A построим данный угол BAD и на его стороне отложим данную боковую сторону AB.
3) Через B проведём прямую l, параллельную AD. На ней должна лежать вершина C.
4) Построим геометрическое место точек X, для которых XB : XD = m : n. Если m ≠ n, для этого разделим BD внутри и вне в отношении m : n, получив точки E и F, и построим окружность с диаметром EF — окружность Аполлония.
5) Точка C находится в пересечении прямой l с построенной окружностью. Выберем те точки пересечения, при которых получается выпуклая трапеция и BC < AD.
6) Соединим C и D. Тогда BC ∥ AD, поэтому ABCD — трапеция, а по построению BC : CD = m : n.Если m = n, вместо окружности строим серединный перпендикуляр к BD: его точки равноудалены от B и D.Ответ: искомая трапеция ABCD построена; все подходящие точки пересечения дают возможные решения.
Кратко Обозначим искомую трапецию ABCD, где AD — большее основание, AB — данная боковая сторона, BC : CD = m : n.1) Построить данные AD, ∠BAD и AB.
2) Через B провести прямую, параллельную AD.
3) Построить окружность Аполлония для точек B и D с отношением расстояний m : n.
4) Её подходящее пересечение с параллельной прямой обозначить C и провести CD.При m = n вместо окружности используется серединный перпендикуляр к BD.Ответ: ABCD — искомая трапеция.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Из вершины А треугольника ABC проведены перпендикуляры AM и АК к биссектрисам внешних углов этого треугольника при вершинах В и С. Докажите, что отрезок МК равен половине периметра треугольника ABC.
Задание учебника 2023 года
Постройте трапецию по боковой стороне, большему основанию, углу между ними и отношению двух других сторон.
