Упр.792 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что вписанная трапеция равнобедреннаяС пояснением
Пусть ABCD — трапеция, вписанная в окружность, причём AD ∥ BC.1) ∠A + ∠B = 180°, так как это односторонние углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AB.
2) ∠A + ∠C = 180°, так как противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме составляют 180°.
3) Следовательно, ∠B = ∠C.У трапеции углы при основании BC равны, значит, она равнобедренная, то есть AB = CD.Ответ: трапеция ABCD равнобедренная.
Кратко Пусть AD ∥ BC. Тогда ∠A + ∠B = 180° как односторонние углы, а ∠A + ∠C = 180° как противоположные углы вписанного четырёхугольника. Значит, ∠B = ∠C. Поэтому трапеция ABCD равнобедренная.Ответ: AB = CD.
2) ∠A + ∠C = 180°, так как противоположные углы вписанного четырёхугольника в сумме составляют 180°.
3) Следовательно, ∠B = ∠C.У трапеции углы при основании BC равны, значит, она равнобедренная, то есть AB = CD.Ответ: трапеция ABCD равнобедренная.
Кратко Пусть AD ∥ BC. Тогда ∠A + ∠B = 180° как односторонние углы, а ∠A + ∠C = 180° как противоположные углы вписанного четырёхугольника. Значит, ∠B = ∠C. Поэтому трапеция ABCD равнобедренная.Ответ: AB = CD.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать теорему о средней линии треугольникаС пояснением
Теорема: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.Дано: в треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AB и AC соответственно.
Доказать: MN ∥ BC и MN = 1/2 BC.Доказательство.
1) Так как M и N — середины сторон AB и AC, то AM = 1/2 AB и AN = 1/2 AC. Поэтому AM : AB = AN : AC = 1 : 2.
2) Угол MAN является общим для треугольников AMN и ABC. Значит, эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
3) Из подобия следует, что ∠AMN = ∠ABC, поэтому MN ∥ BC.
4) Также MN : BC = AM : AB = 1 : 2, следовательно, MN = 1/2 BC.Ответ: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине; теорема доказана.
Кратко Пусть M и N — середины сторон AB и AC треугольника ABC. Тогда AM : AB = AN : AC = 1 : 2, а угол A — общий. Поэтому △AMN ∼ △ABC. Следовательно, ∠AMN = ∠ABC, значит, MN ∥ BC. Кроме того, MN : BC = 1 : 2, то есть MN = 1/2 BC.Ответ: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
Доказать: MN ∥ BC и MN = 1/2 BC.Доказательство.
1) Так как M и N — середины сторон AB и AC, то AM = 1/2 AB и AN = 1/2 AC. Поэтому AM : AB = AN : AC = 1 : 2.
2) Угол MAN является общим для треугольников AMN и ABC. Значит, эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.
3) Из подобия следует, что ∠AMN = ∠ABC, поэтому MN ∥ BC.
4) Также MN : BC = AM : AB = 1 : 2, следовательно, MN = 1/2 BC.Ответ: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине; теорема доказана.
Кратко Пусть M и N — середины сторон AB и AC треугольника ABC. Тогда AM : AB = AN : AC = 1 : 2, а угол A — общий. Поэтому △AMN ∼ △ABC. Следовательно, ∠AMN = ∠ABC, значит, MN ∥ BC. Кроме того, MN : BC = 1 : 2, то есть MN = 1/2 BC.Ответ: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна половине этой стороны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.
Задание учебника 2023 года
Докажите теорему о средней линии треугольника (п. 64).
