Упр.786 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать формулу площади описанного многоугольникаС пояснением
1) Соединим центр O вписанной окружности со всеми вершинами многоугольника. Многоугольник разделится на треугольники.
2) Радиусы, проведённые в точки касания окружности со сторонами, перпендикулярны этим сторонам. Поэтому высота каждого полученного треугольника равна r.
3) Если длины сторон многоугольника равны a₁, a₂, ..., aₙ, то его площадь равна сумме площадей треугольников:
S = 1/2 a₁r + 1/2 a₂r + ... + 1/2 aₙr = 1/2(a₁ + a₂ + ... + aₙ)r.
4) Сумма длин всех сторон — это периметр P. Следовательно,
S = 1/2Pr.
Ответ: площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
Кратко Пусть стороны многоугольника равны a₁, a₂, ..., aₙ, а радиус вписанной окружности равен r. Соединим центр окружности с вершинами. Получатся треугольники, высота каждого из которых равна r:
S = (a₁r)/2 + (a₂r)/2 + ... + (aₙr)/2 = r(a₁ + a₂ + ... + aₙ)/2 = Pr/2.
Ответ: S = Pr/2.
2) Радиусы, проведённые в точки касания окружности со сторонами, перпендикулярны этим сторонам. Поэтому высота каждого полученного треугольника равна r.
3) Если длины сторон многоугольника равны a₁, a₂, ..., aₙ, то его площадь равна сумме площадей треугольников:
S = 1/2 a₁r + 1/2 a₂r + ... + 1/2 aₙr = 1/2(a₁ + a₂ + ... + aₙ)r.
4) Сумма длин всех сторон — это периметр P. Следовательно,
S = 1/2Pr.
Ответ: площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
Кратко Пусть стороны многоугольника равны a₁, a₂, ..., aₙ, а радиус вписанной окружности равен r. Соединим центр окружности с вершинами. Получатся треугольники, высота каждого из которых равна r:
S = (a₁r)/2 + (a₂r)/2 + ... + (aₙr)/2 = r(a₁ + a₂ + ... + aₙ)/2 = Pr/2.
Ответ: S = Pr/2.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Выразить векторы медиан через a и bС пояснением
1) Так как A₁ — середина BC, то
Кратко
→AA₁ = 1/2(→AB + →AC) = 1/2(a + b).2) Так как B₁ — середина AC, то
→AB₁ = 1/2→AC = 1/2a.Поэтому
→BB₁ = →BA + →AB₁ = −b + 1/2a = 1/2a − b.3) Так как C₁ — середина AB, то
→AC₁ = 1/2→AB = 1/2b.Поэтому
→CC₁ = →CA + →AC₁ = −a + 1/2b = 1/2b − a.Ответ: →AA₁ = 1/2(a + b), →BB₁ = 1/2a − b, →CC₁ = 1/2b − a.
Кратко
→AA₁ = (a + b)/2; →BB₁ = a/2 − b; →CC₁ = b/2 − a.Ответ: (a + b)/2; a/2 − b; b/2 − a.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
Задание учебника 2023 года
Отрезки АА1, ВВ1 и СС1 — медианы треугольника ABC. Выразите векторы АА1, ВВ1, СС1 через векторы а = АС и b = АВ.
