Упр.790 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что четырёхугольники можно вписать в окружностьС пояснением
а) Пусть ABCD — прямоугольник. Его углы прямые, поэтому
∠A + ∠C = 90° + 90° = 180°.
Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность. Значит, около любого прямоугольника можно описать окружность.б) Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AB ∥ CD. Углы при каждом основании равны:
∠A = ∠B, ∠C = ∠D.
Так как AB ∥ CD, то односторонние углы при боковой стороне BC в сумме составляют 180°:
∠B + ∠C = 180°.
Следовательно, ∠A + ∠C = 180°. Значит, сумма противоположных углов трапеции равна 180°, поэтому около неё можно описать окружность.Ответ: окружность можно описать около любого прямоугольника и любой равнобедренной трапеции.
Кратко а) В прямоугольнике ABCD:
∠A + ∠C = 90° + 90° = 180°.
По признаку вписанного четырёхугольника около прямоугольника можно описать окружность.б) В равнобедренной трапеции ABCD, где AB ∥ CD:
∠A = ∠B, а ∠B + ∠C = 180°.
Значит, ∠A + ∠C = 180°, поэтому около трапеции можно описать окружность.Ответ: окружность можно описать около обоих данных четырёхугольников.
∠A + ∠C = 90° + 90° = 180°.
Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°, то около него можно описать окружность. Значит, около любого прямоугольника можно описать окружность.б) Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, AB ∥ CD. Углы при каждом основании равны:
∠A = ∠B, ∠C = ∠D.
Так как AB ∥ CD, то односторонние углы при боковой стороне BC в сумме составляют 180°:
∠B + ∠C = 180°.
Следовательно, ∠A + ∠C = 180°. Значит, сумма противоположных углов трапеции равна 180°, поэтому около неё можно описать окружность.Ответ: окружность можно описать около любого прямоугольника и любой равнобедренной трапеции.
Кратко а) В прямоугольнике ABCD:
∠A + ∠C = 90° + 90° = 180°.
По признаку вписанного четырёхугольника около прямоугольника можно описать окружность.б) В равнобедренной трапеции ABCD, где AB ∥ CD:
∠A = ∠B, а ∠B + ∠C = 180°.
Значит, ∠A + ∠C = 180°, поэтому около трапеции можно описать окружность.Ответ: окружность можно описать около обоих данных четырёхугольников.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать свойство отрезка между серединами диагоналейС пояснением
Пусть ABCD — трапеция, AD ∥ BC, причём AD — большее основание. M и N — середины диагоналей AC и BD. Обозначим через P середину боковой стороны AB.1) В треугольнике ABC отрезок PM соединяет середины сторон AB и AC. По свойству средней линии треугольника:
PM ∥ BC, PM = BC : 2.2) В треугольнике ABD отрезок PN соединяет середины сторон AB и BD. Поэтому:
PN ∥ AD, PN = AD : 2.3) Так как AD ∥ BC, прямые PM и PN проходят через точку P и параллельны основаниям. Следовательно, точки M, P и N лежат на одной прямой, а MN ∥ AD ∥ BC.4) Поскольку AD > BC, получаем:
MN = PN − PM = AD : 2 − BC : 2 = (AD − BC) : 2.Ответ: отрезок MN параллелен основаниям трапеции и равен половине их разности: MN = (AD − BC) : 2.
Кратко Пусть P — середина боковой стороны AB, а M и N — середины диагоналей AC и BD. По свойству средней линии треугольника:
PM ∥ BC, PM = BC/2;
PN ∥ AD, PN = AD/2.
Так как AD ∥ BC, точки M, P, N лежат на одной прямой, поэтому MN ∥ AD ∥ BC. Если AD > BC, то
MN = PN − PM = AD/2 − BC/2 = (AD − BC)/2.Ответ: MN параллелен основаниям и равен полуразности их длин.
PM ∥ BC, PM = BC : 2.2) В треугольнике ABD отрезок PN соединяет середины сторон AB и BD. Поэтому:
PN ∥ AD, PN = AD : 2.3) Так как AD ∥ BC, прямые PM и PN проходят через точку P и параллельны основаниям. Следовательно, точки M, P и N лежат на одной прямой, а MN ∥ AD ∥ BC.4) Поскольку AD > BC, получаем:
MN = PN − PM = AD : 2 − BC : 2 = (AD − BC) : 2.Ответ: отрезок MN параллелен основаниям трапеции и равен половине их разности: MN = (AD − BC) : 2.
Кратко Пусть P — середина боковой стороны AB, а M и N — середины диагоналей AC и BD. По свойству средней линии треугольника:
PM ∥ BC, PM = BC/2;
PN ∥ AD, PN = AD/2.
Так как AD ∥ BC, точки M, P, N лежат на одной прямой, поэтому MN ∥ AD ∥ BC. Если AD > BC, то
MN = PN − PM = AD/2 − BC/2 = (AD − BC)/2.Ответ: MN параллелен основаниям и равен полуразности их длин.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен её основаниям и равен полуразности оснований.
