Упр.791 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что вписанный параллелограмм — прямоугольникС пояснением
Пусть параллелограмм ABCD вписан в окружность.
1) В параллелограмме противоположные углы равны: ∠A = ∠C.
2) Так как ABCD — вписанный четырёхугольник, сумма его противоположных углов равна 180°: ∠A + ∠C = 180°.
3) Следовательно, ∠A = ∠C = 90°.
4) В параллелограмме соседние углы в сумме составляют 180°, поэтому ∠B = ∠D = 90°.
Значит, все углы параллелограмма прямые, поэтому он является прямоугольником.
Ответ: параллелограмм, около которого можно описать окружность, является прямоугольником.
Кратко Пусть параллелограмм ABCD вписан в окружность. Тогда ∠A = ∠C как противоположные углы параллелограмма. В то же время ∠A + ∠C = 180° как противоположные углы вписанного четырёхугольника. Значит, ∠A = ∠C = 90°. Следовательно, параллелограмм ABCD — прямоугольник.
Ответ: доказано.
1) В параллелограмме противоположные углы равны: ∠A = ∠C.
2) Так как ABCD — вписанный четырёхугольник, сумма его противоположных углов равна 180°: ∠A + ∠C = 180°.
3) Следовательно, ∠A = ∠C = 90°.
4) В параллелограмме соседние углы в сумме составляют 180°, поэтому ∠B = ∠D = 90°.
Значит, все углы параллелограмма прямые, поэтому он является прямоугольником.
Ответ: параллелограмм, около которого можно описать окружность, является прямоугольником.
Кратко Пусть параллелограмм ABCD вписан в окружность. Тогда ∠A = ∠C как противоположные углы параллелограмма. В то же время ∠A + ∠C = 180° как противоположные углы вписанного четырёхугольника. Значит, ∠A = ∠C = 90°. Следовательно, параллелограмм ABCD — прямоугольник.
Ответ: доказано.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что отрезки между серединами противоположных сторон делятся пополамС пояснением
Пусть M, N, P и Q — середины сторон AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD.1) В треугольнике ABC отрезок MN — средняя линия, поэтому MN ∥ AC.
В треугольнике ADC отрезок QP — средняя линия, поэтому QP ∥ AC.
Следовательно, MN ∥ QP.2) В треугольнике BCD отрезок NP — средняя линия, поэтому NP ∥ BD.
В треугольнике BAD отрезок MQ — средняя линия, поэтому MQ ∥ BD.
Следовательно, NP ∥ MQ.3) Таким образом, MNPQ — параллелограмм. Его диагонали MP и NQ точкой пересечения делятся пополам.Ответ: отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.
Кратко Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA через M, N, P и Q. По свойству средней линии треугольника MN ∥ QP и NP ∥ MQ. Значит, MNPQ — параллелограмм, а MP и NQ — его диагонали. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.Ответ: утверждение доказано.
В треугольнике ADC отрезок QP — средняя линия, поэтому QP ∥ AC.
Следовательно, MN ∥ QP.2) В треугольнике BCD отрезок NP — средняя линия, поэтому NP ∥ BD.
В треугольнике BAD отрезок MQ — средняя линия, поэтому MQ ∥ BD.
Следовательно, NP ∥ MQ.3) Таким образом, MNPQ — параллелограмм. Его диагонали MP и NQ точкой пересечения делятся пополам.Ответ: отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.
Кратко Обозначим середины сторон AB, BC, CD и DA через M, N, P и Q. По свойству средней линии треугольника MN ∥ QP и NP ∥ MQ. Значит, MNPQ — параллелограмм, а MP и NQ — его диагонали. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.Ответ: утверждение доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если около параллелограмма можно описать окружность, то этот параллелограмм — прямоугольник.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных сторон произвольного четырёхугольника, точкой пересечения делятся пополам.
