Упр.785 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что описанный параллелограмм — ромбС пояснением
Пусть окружность касается сторон параллелограмма ABCD в точках K, L, M и N соответственно.1) Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны:
AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN.2) Поэтому суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны:
AB + CD = AD + BC.3) Так как ABCD — параллелограмм, то AB = CD и AD = BC. Следовательно,
2AB = 2AD,
значит, AB = AD.Таким образом, соседние стороны параллелограмма равны, а поскольку его противоположные стороны также равны, все четыре стороны равны. Значит, ABCD — ромб.Ответ: параллелограмм является ромбом.
Кратко Для четырёхугольника, описанного около окружности,
AB + CD = AD + BC.В параллелограмме AB = CD и AD = BC, поэтому
2AB = 2AD, откуда AB = AD.Следовательно, все стороны параллелограмма равны, то есть он является ромбом.Ответ: параллелограмм является ромбом.
AK = AN, BK = BL, CL = CM, DM = DN.2) Поэтому суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны:
AB + CD = AD + BC.3) Так как ABCD — параллелограмм, то AB = CD и AD = BC. Следовательно,
2AB = 2AD,
значит, AB = AD.Таким образом, соседние стороны параллелограмма равны, а поскольку его противоположные стороны также равны, все четыре стороны равны. Значит, ABCD — ромб.Ответ: параллелограмм является ромбом.
Кратко Для четырёхугольника, описанного около окружности,
AB + CD = AD + BC.В параллелограмме AB = CD и AD = BC, поэтому
2AB = 2AD, откуда AB = AD.Следовательно, все стороны параллелограмма равны, то есть он является ромбом.Ответ: параллелограмм является ромбом.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать векторное равенство для середин диагоналейС пояснением
1) Возьмём произвольную точку O. Так как M — середина AC, а N — середина BD, то
OM⃗ = ½(OA⃗ + OC⃗),
ON⃗ = ½(OB⃗ + OD⃗).2) По правилу сложения векторов:
MN⃗ = ON⃗ − OM⃗ = ½(OB⃗ + OD⃗ − OA⃗ − OC⃗).3) Сгруппируем векторы:
MN⃗ = ½[(OD⃗ − OA⃗) + (OB⃗ − OC⃗)] = ½(AD⃗ + CB⃗).Ответ: MN⃗ = ½(AD⃗ + CB⃗), что и требовалось доказать.
Кратко Так как M и N — середины AC и BD, то
OM⃗ = ½(OA⃗ + OC⃗), ON⃗ = ½(OB⃗ + OD⃗).Следовательно,
MN⃗ = ON⃗ − OM⃗ = ½[(OD⃗ − OA⃗) + (OB⃗ − OC⃗)] = ½(AD⃗ + CB⃗).Ответ: равенство доказано.
OM⃗ = ½(OA⃗ + OC⃗),
ON⃗ = ½(OB⃗ + OD⃗).2) По правилу сложения векторов:
MN⃗ = ON⃗ − OM⃗ = ½(OB⃗ + OD⃗ − OA⃗ − OC⃗).3) Сгруппируем векторы:
MN⃗ = ½[(OD⃗ − OA⃗) + (OB⃗ − OC⃗)] = ½(AD⃗ + CB⃗).Ответ: MN⃗ = ½(AD⃗ + CB⃗), что и требовалось доказать.
Кратко Так как M и N — середины AC и BD, то
OM⃗ = ½(OA⃗ + OC⃗), ON⃗ = ½(OB⃗ + OD⃗).Следовательно,
MN⃗ = ON⃗ − OM⃗ = ½[(OD⃗ − OA⃗) + (OB⃗ − OC⃗)] = ½(AD⃗ + CB⃗).Ответ: равенство доказано.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.
Задание учебника 2023 года
Точки М и N — середины диагоналей АС и BD четырёхугольника ABCD. Докажите, что MN = 1/2(AD + CB).
