Упр.489 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать свойство средней линии трапецииС пояснением
Проведём через точку E прямую, параллельную основаниям AD и BC. Пусть она пересекает диагональ AC в точке M, а сторону CD — в точке F₁.1) В треугольнике ABC точка E — середина AB, а EM ∥ BC. По свойству средней линии треугольника M — середина AC и EM = 1/2 BC.2) В треугольнике ACD точка M — середина AC, а MF₁ ∥ AD. Поэтому F₁ — середина CD и MF₁ = 1/2 AD.3) По условию F также является серединой CD, значит, точки F₁ и F совпадают. Следовательно, EF ∥ AD и EF ∥ BC.4) EF = EM + MF = 1/2 BC + 1/2 AD = 1/2(AD + BC).Ответ: EF ∥ AD, EF ∥ BC, EF = 1/2(AD + BC), что и требовалось доказать.
Кратко Проведём через E прямую, параллельную основаниям, до пересечения с AC в точке M и с CD в точке F₁. По свойству средней линии треугольника:
EM = 1/2 BC, M — середина AC;
MF₁ = 1/2 AD, F₁ — середина CD.
Так как F — середина CD, то F₁ = F. Поэтому EF ∥ AD, EF ∥ BC и
EF = EM + MF = 1/2 BC + 1/2 AD = 1/2(AD + BC).Ответ: EF ∥ AD, EF ∥ BC; EF = 1/2(AD + BC).
Кратко Проведём через E прямую, параллельную основаниям, до пересечения с AC в точке M и с CD в точке F₁. По свойству средней линии треугольника:
EM = 1/2 BC, M — середина AC;
MF₁ = 1/2 AD, F₁ — середина CD.
Так как F — середина CD, то F₁ = F. Поэтому EF ∥ AD, EF ∥ BC и
EF = EM + MF = 1/2 BC + 1/2 AD = 1/2(AD + BC).Ответ: EF ∥ AD, EF ∥ BC; EF = 1/2(AD + BC).
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать формулу и найти площади треугольниковС пояснением
1) Проведём высоту h равностороннего треугольника. Она разделит сторону a пополам. По теореме Пифагора:
h² = a² − (a/2)² = a² − a²/4 = 3a²/4,
поэтому h = a√3/2.2) Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту:
S = ah/2 = (a · a√3/2)/2 = a²√3/4.
Формула доказана.3) Если a = 5 см, то
S = 5²√3/4 = 25√3/4 (см²).4) Если a = 1,2 см, то
S = 1,2²√3/4 = 1,44√3/4 = 0,36√3 (см²).5) Если a = 2√2 дм, то
S = (2√2)²√3/4 = 8√3/4 = 2√3 (дм²).Ответ: а) 25√3/4 см²; б) 0,36√3 см²; в) 2√3 дм².
Кратко Высота равностороннего треугольника:
h = √(a² − (a/2)²) = a√3/2.Тогда
S = ah/2 = a²√3/4.а) S = 5²√3/4 = 25√3/4 (см²);
б) S = 1,2²√3/4 = 0,36√3 (см²);
в) S = (2√2)²√3/4 = 2√3 (дм²).Ответ: а) 25√3/4 см²; б) 0,36√3 см²; в) 2√3 дм².
h² = a² − (a/2)² = a² − a²/4 = 3a²/4,
поэтому h = a√3/2.2) Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведённую к ней высоту:
S = ah/2 = (a · a√3/2)/2 = a²√3/4.
Формула доказана.3) Если a = 5 см, то
S = 5²√3/4 = 25√3/4 (см²).4) Если a = 1,2 см, то
S = 1,2²√3/4 = 1,44√3/4 = 0,36√3 (см²).5) Если a = 2√2 дм, то
S = (2√2)²√3/4 = 8√3/4 = 2√3 (дм²).Ответ: а) 25√3/4 см²; б) 0,36√3 см²; в) 2√3 дм².
Кратко Высота равностороннего треугольника:
h = √(a² − (a/2)²) = a√3/2.Тогда
S = ah/2 = a²√3/4.а) S = 5²√3/4 = 25√3/4 (см²);
б) S = 1,2²√3/4 = 0,36√3 (см²);
в) S = (2√2)²√3/4 = 2√3 (дм²).Ответ: а) 25√3/4 см²; б) 0,36√3 см²; в) 2√3 дм².
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.
Дано:
ABCD-трапец;
EF-ср.линия;
Доказать:
EF=1/2 (AD+BC);
EF || AD; EF || BC;
Решение:
1) Выполним построение:
E принадлежит AB; AE=BE; F принадлежит CD;
EF || CD, H=EFnBD;
2) Рассмотрим треугольник ABD:
EH || AD, AE=BE;
BH=HD, EH=1/2 AD;
3) Рассмотрим треугольник BCD:
HF || BC, BH=HD;
CF=DF, HF=1/2 BC;
4) В данной трапеции ABCD:
EF=EH+HF=1/2 (AD+BC);
AD || BC, EF || AD, EF || BC;
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле S = a2корень3/4, где а — сторона треугольника. Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сторона равна: а) 5 см; б) 1,2 см; в) 2корень2 дм.
