Упр.485 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что MN — средняя линия треугольникаС пояснением
Проведём через точку N прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает BC в точке D.1) Рассмотрим треугольники BMN и DNB:
∠MBN = ∠DNB, так как AB ∥ ND;
∠MNB = ∠DBN, так как MN ∥ BC;
BN — общая сторона.
Значит, треугольники BMN и DNB равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому BM = ND.2) По условию AM = BM, следовательно, AM = ND.3) Рассмотрим треугольники AMN и NDC:
AM = ND;
∠AMN = ∠NDC, так как AB ∥ ND и MN лежит на одной прямой с DC;
∠MAN = ∠DNC, так как AB ∥ ND, а A, N, C лежат на одной прямой.
Значит, треугольники AMN и NDC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AN = CN.Следовательно, N — середина AC, а MN — средняя линия треугольника ABC.Ответ: AN = CN; MN — средняя линия треугольника ABC.
Кратко Через N проведём ND ∥ AB, где D ∈ BC.Треугольники BMN и DNB равны по стороне BN и двум прилежащим углам, поэтому BM = ND. Так как AM = BM, то AM = ND.Треугольники AMN и NDC равны по стороне AM = ND и двум прилежащим углам. Следовательно, AN = CN. Значит, N — середина AC и MN — средняя линия треугольника ABC.Ответ: AN = CN.
∠MBN = ∠DNB, так как AB ∥ ND;
∠MNB = ∠DBN, так как MN ∥ BC;
BN — общая сторона.
Значит, треугольники BMN и DNB равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому BM = ND.2) По условию AM = BM, следовательно, AM = ND.3) Рассмотрим треугольники AMN и NDC:
AM = ND;
∠AMN = ∠NDC, так как AB ∥ ND и MN лежит на одной прямой с DC;
∠MAN = ∠DNC, так как AB ∥ ND, а A, N, C лежат на одной прямой.
Значит, треугольники AMN и NDC равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AN = CN.Следовательно, N — середина AC, а MN — средняя линия треугольника ABC.Ответ: AN = CN; MN — средняя линия треугольника ABC.
Кратко Через N проведём ND ∥ AB, где D ∈ BC.Треугольники BMN и DNB равны по стороне BN и двум прилежащим углам, поэтому BM = ND. Так как AM = BM, то AM = ND.Треугольники AMN и NDC равны по стороне AM = ND и двум прилежащим углам. Следовательно, AN = CN. Значит, N — середина AC и MN — средняя линия треугольника ABC.Ответ: AN = CN.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Найти катет против угла 60°С пояснением
1) Второй острый угол треугольника равен 30°.
2) Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть c/2.
3) По теореме Пифагора квадрат искомого катета равен:
c² − (c/2)² = c² − c²/4 = 3c²/4.
Значит, искомый катет равен c√3/2.
Ответ: c√3/2.
Кратко По свойству прямоугольного треугольника с углом 60° искомый катет равен c√3/2.
Ответ: c√3/2.
2) Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы, то есть c/2.
3) По теореме Пифагора квадрат искомого катета равен:
c² − (c/2)² = c² − c²/4 = 3c²/4.
Значит, искомый катет равен c√3/2.
Ответ: c√3/2.
Кратко По свойству прямоугольного треугольника с углом 60° искомый катет равен c√3/2.
Ответ: c√3/2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите признак средней линии треугольника. Через середину М стороны АВ треугольника АВС проведена прямая, параллельная стороне ВС. Эта прямая пересекает сторону АС в точке N. Докажите, что MN — средняя линия треугольника АВС.
Дано:
AM=BM;
BC || MN;
N принадлежит AC;
Доказать:
AN=CN;
Решение:
1) Отметим точку:
D принадлежит MN, CD || AB || BM;
2) Накрест лежащие углы:
AB || CD, AC, угол MAC=угол DCA;
AB || CD, MD, угол AMD=угол CDN;
3) В параллелограмме AMDB:
BM || CD; MD || BC; CD=BM;
4) Равны по второму признаку:
угол AMN=угол CDN; угол MAN=угол DCN;
CD=BM=AM; треугольник AMN=треугольник CDN;
MN=DN, AN=CN=1/2•AC;
Что и требовалось доказать.
Задание учебника 2023 года
Найдите катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 60°, если гипотенуза равна с.
