Упр.478 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2(Учебник 2023)
Решение #3 (Учебник 2023)ИИ
Доказать формулу площади четырёхугольника
С пояснением:
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Так как четырёхугольник выпуклый, точка O лежит внутри него.
1) Диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому четырёхугольник разделён на четыре прямоугольных треугольника:
S = S₍AOB₎ + S₍BOC₎ + S₍COD₎ + S₍DOA₎.
2) Найдём сумму их площадей:
S = 1/2·AO·BO + 1/2·BO·OC + 1/2·OC·OD + 1/2·OD·AO.
3) Вынесем общие множители:
S = 1/2·(AO + OC)·(BO + OD).
Так как AO + OC = AC, а BO + OD = BD, получаем:
S = 1/2·AC·BD.
Ответ: площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
Кратко:
Пусть AC ⟂ BD, а O — точка пересечения диагоналей. Складывая площади четырёх получившихся прямоугольных треугольников, получаем:
S = 1/2·(AO + OC)·(BO + OD) = 1/2·AC·BD.
Ответ: S = AC·BD/2.
С пояснением:
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Так как четырёхугольник выпуклый, точка O лежит внутри него.
1) Диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому четырёхугольник разделён на четыре прямоугольных треугольника:
S = S₍AOB₎ + S₍BOC₎ + S₍COD₎ + S₍DOA₎.
2) Найдём сумму их площадей:
S = 1/2·AO·BO + 1/2·BO·OC + 1/2·OC·OD + 1/2·OD·AO.
3) Вынесем общие множители:
S = 1/2·(AO + OC)·(BO + OD).
Так как AO + OC = AC, а BO + OD = BD, получаем:
S = 1/2·AC·BD.
Ответ: площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
Кратко:
Пусть AC ⟂ BD, а O — точка пересечения диагоналей. Складывая площади четырёх получившихся прямоугольных треугольников, получаем:
S = 1/2·(AO + OC)·(BO + OD) = 1/2·AC·BD.
Ответ: S = AC·BD/2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Решение
Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую АВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой АВ, так как АВ || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ.
Задание учебника 2023 года
В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
