Упр.478 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить треугольник, симметричный относительно прямой рС пояснением
1) Из вершин A, B и C проведём перпендикуляры к прямой р.
2) На продолжении каждого перпендикуляра по другую сторону от прямой р отложим равные отрезки так, чтобы прямая р делила отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пополам.
3) Соединим точки A₁, B₁ и C₁. Получим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC относительно прямой р.
4) Масштабной линейкой и транспортиром проверим:
A₁B₁ = AB, B₁C₁ = BC, C₁A₁ = CA;
∠A₁ = ∠A, ∠B₁ = ∠B, ∠C₁ = ∠C.
5) Если прямая р пересекает две стороны треугольника, построение выполняется точно так же: из каждой вершины опускаем перпендикуляр на р и откладываем с другой стороны равное расстояние. Точки треугольника, лежащие на прямой р, при симметрии остаются на месте.
Ответ: в обоих случаях построенные треугольники равны по соответствующим сторонам и углам.
Кратко Проведём из A, B и C перпендикуляры к прямой р. По другую сторону от р отметим точки A₁, B₁ и C₁ так, чтобы прямая р делила AA₁, BB₁ и CC₁ пополам. Соединим A₁, B₁ и C₁.
Измерения показывают:
A₁B₁ = AB, B₁C₁ = BC, C₁A₁ = CA;
∠A₁ = ∠A, ∠B₁ = ∠B, ∠C₁ = ∠C.
При пересечении прямой р с двумя сторонами построение повторяется тем же способом.
Ответ: треугольник A₁B₁C₁ симметричен треугольнику ABC относительно прямой р; их соответствующие стороны и углы равны.
2) На продолжении каждого перпендикуляра по другую сторону от прямой р отложим равные отрезки так, чтобы прямая р делила отрезки AA₁, BB₁ и CC₁ пополам.
3) Соединим точки A₁, B₁ и C₁. Получим треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC относительно прямой р.
4) Масштабной линейкой и транспортиром проверим:
A₁B₁ = AB, B₁C₁ = BC, C₁A₁ = CA;
∠A₁ = ∠A, ∠B₁ = ∠B, ∠C₁ = ∠C.
5) Если прямая р пересекает две стороны треугольника, построение выполняется точно так же: из каждой вершины опускаем перпендикуляр на р и откладываем с другой стороны равное расстояние. Точки треугольника, лежащие на прямой р, при симметрии остаются на месте.
Ответ: в обоих случаях построенные треугольники равны по соответствующим сторонам и углам.
Кратко Проведём из A, B и C перпендикуляры к прямой р. По другую сторону от р отметим точки A₁, B₁ и C₁ так, чтобы прямая р делила AA₁, BB₁ и CC₁ пополам. Соединим A₁, B₁ и C₁.
Измерения показывают:
A₁B₁ = AB, B₁C₁ = BC, C₁A₁ = CA;
∠A₁ = ∠A, ∠B₁ = ∠B, ∠C₁ = ∠C.
При пересечении прямой р с двумя сторонами построение повторяется тем же способом.
Ответ: треугольник A₁B₁C₁ симметричен треугольнику ABC относительно прямой р; их соответствующие стороны и углы равны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать формулу площади четырёхугольникаС пояснением
Пусть диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Так как четырёхугольник выпуклый, точка O лежит внутри него.1) Диагонали взаимно перпендикулярны, поэтому четырёхугольник разделён на четыре прямоугольных треугольника:
S = S₍AOB₎ + S₍BOC₎ + S₍COD₎ + S₍DOA₎.2) Найдём сумму их площадей:
S = 1/2·AO·BO + 1/2·BO·OC + 1/2·OC·OD + 1/2·OD·AO.3) Вынесем общие множители:
S = 1/2·(AO + OC)·(BO + OD).Так как AO + OC = AC, а BO + OD = BD, получаем:
S = 1/2·AC·BD.Ответ: площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
Кратко Пусть AC ⟂ BD, а O — точка пересечения диагоналей. Складывая площади четырёх получившихся прямоугольных треугольников, получаем:
S = 1/2·(AO + OC)·(BO + OD) = 1/2·AC·BD.Ответ: S = AC·BD/2.
S = S₍AOB₎ + S₍BOC₎ + S₍COD₎ + S₍DOA₎.2) Найдём сумму их площадей:
S = 1/2·AO·BO + 1/2·BO·OC + 1/2·OC·OD + 1/2·OD·AO.3) Вынесем общие множители:
S = 1/2·(AO + OC)·(BO + OD).Так как AO + OC = AC, а BO + OD = BD, получаем:
S = 1/2·AC·BD.Ответ: площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
Кратко Пусть AC ⟂ BD, а O — точка пересечения диагоналей. Складывая площади четырёх получившихся прямоугольных треугольников, получаем:
S = 1/2·(AO + OC)·(BO + OD) = 1/2·AC·BD.Ответ: S = AC·BD/2.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Решение
Рассмотрим параллелограмм ABCD (см. рис. 157) и докажем, что он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Возьмём, например, прямую АВ. Отрезок CD не имеет общих точек с прямой АВ, так как АВ || CD. Значит, этот отрезок лежит по одну сторону от прямой АВ. Но тогда и отрезки ВС и AD лежат по ту же сторону от прямой АВ. Таким образом, параллелограмм ABCD лежит по одну сторону от прямой АВ.
Задание учебника 2023 года
В выпуклом четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны. Докажите, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей.
