Упр.431 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать расположение середин параллельных хордС пояснением
1) Пусть AB и CD — параллельные хорды окружности с центром O, а M и N — их середины.
2) Соединим точки O и M, O и N. Отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Поэтому OM ⟂ AB и ON ⟂ CD.
3) Так как AB ∥ CD, перпендикуляры OM и ON к ним лежат на одной прямой, проходящей через O.
4) Эта прямая проходит через центр окружности, значит, часть её внутри окружности является диаметром. Следовательно, точки M и N лежат на одном диаметре.
Ответ: середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.
Кратко Пусть M и N — середины параллельных хорд AB и CD, O — центр окружности. Тогда OM ⟂ AB и ON ⟂ CD. Перпендикуляры к параллельным прямым, проведённые через одну точку O, лежат на одной прямой. Эта прямая проходит через центр окружности, поэтому является прямой диаметра.
Ответ: точки M и N лежат на одном диаметре.
2) Соединим точки O и M, O и N. Отрезок, соединяющий центр окружности с серединой хорды, перпендикулярен этой хорде. Поэтому OM ⟂ AB и ON ⟂ CD.
3) Так как AB ∥ CD, перпендикуляры OM и ON к ним лежат на одной прямой, проходящей через O.
4) Эта прямая проходит через центр окружности, значит, часть её внутри окружности является диаметром. Следовательно, точки M и N лежат на одном диаметре.
Ответ: середины параллельных хорд лежат на одном диаметре.
Кратко Пусть M и N — середины параллельных хорд AB и CD, O — центр окружности. Тогда OM ⟂ AB и ON ⟂ CD. Перпендикуляры к параллельным прямым, проведённые через одну точку O, лежат на одной прямой. Эта прямая проходит через центр окружности, поэтому является прямой диаметра.
Ответ: точки M и N лежат на одном диаметре.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что AD составляет треть ACС пояснением
1) Проведём через точку M прямую, параллельную BD. Пусть она пересекает AC в точке E.
2) В треугольнике BCD точка M — середина BC, а ME ∥ BD. Поэтому E — середина CD и DE = EC.
3) В треугольнике AME точка K — середина AM, а KD ∥ ME, так как точки B, K, D лежат на одной прямой. Поэтому D — середина AE и AD = DE.
4) Следовательно, AD = DE = EC. Значит, AC = AD + DE + EC = 3AD, откуда AD = 1/3 AC.
Ответ: AD = 1/3 AC.
Кратко Проведём ME ∥ BD, где E лежит на AC. В треугольнике BCD точка M — середина BC, поэтому DE = EC. В треугольнике AME точка K — середина AM и KD ∥ ME, поэтому AD = DE. Значит, AD = DE = EC и AC = 3AD.
Ответ: AD = 1/3 AC.
2) В треугольнике BCD точка M — середина BC, а ME ∥ BD. Поэтому E — середина CD и DE = EC.
3) В треугольнике AME точка K — середина AM, а KD ∥ ME, так как точки B, K, D лежат на одной прямой. Поэтому D — середина AE и AD = DE.
4) Следовательно, AD = DE = EC. Значит, AC = AD + DE + EC = 3AD, откуда AD = 1/3 AC.
Ответ: AD = 1/3 AC.
Кратко Проведём ME ∥ BD, где E лежит на AC. В треугольнике BCD точка M — середина BC, поэтому DE = EC. В треугольнике AME точка K — середина AM и KD ∥ ME, поэтому AD = DE. Значит, AD = DE = EC и AC = 3AD.
Ответ: AD = 1/3 AC.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Внутри треугольника ABC взята такая точка D, что AD=AB. Докажите, что АС > АВ.
Задание учебника 2023 года
Точка К — середина медианы AM треугольника ABC. Прямая ВК пересекает сторону АС в точке D. Докажите, что AD = 1/3АС.
