Упр.419 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать, что C₁C₂ проходит через середину ABС пояснением
Пусть M — середина отрезка AB.1) Рассмотрим треугольники AMC₁ и BMC₂. В них AM = BM, так как M — середина AB; AC₁ = BC₂ по условию; ∠MAC₁ = ∠MBC₂, поскольку ∠BAC₁ = ∠ABC₂.2) Следовательно, треугольники AMC₁ и BMC₂ равны по двум сторонам и углу между ними. Поэтому ∠AMC₁ = ∠BMC₂.3) Лучи MA и MB — противоположные, а точки C₁ и C₂ лежат по разные стороны от AB. Поэтому
∠C₁MC₂ = ∠C₁MB + ∠BMC₂ = 180°.
Значит, точки C₁, M и C₂ лежат на одной прямой.Ответ: прямая C₁C₂ проходит через середину M отрезка AB.
Кратко Пусть M — середина AB. Треугольники AMC₁ и BMC₂ равны по двум сторонам и углу между ними: AM = BM, AC₁ = BC₂, ∠MAC₁ = ∠MBC₂. Поэтому ∠AMC₁ = ∠BMC₂. Так как C₁ и C₂ находятся по разные стороны от AB, то ∠C₁MC₂ = 180°, следовательно, C₁, M и C₂ лежат на одной прямой.Ответ: C₁C₂ проходит через середину отрезка AB.
∠C₁MC₂ = ∠C₁MB + ∠BMC₂ = 180°.
Значит, точки C₁, M и C₂ лежат на одной прямой.Ответ: прямая C₁C₂ проходит через середину M отрезка AB.
Кратко Пусть M — середина AB. Треугольники AMC₁ и BMC₂ равны по двум сторонам и углу между ними: AM = BM, AC₁ = BC₂, ∠MAC₁ = ∠MBC₂. Поэтому ∠AMC₁ = ∠BMC₂. Так как C₁ и C₂ находятся по разные стороны от AB, то ∠C₁MC₂ = 180°, следовательно, C₁, M и C₂ лежат на одной прямой.Ответ: C₁C₂ проходит через середину отрезка AB.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что прямая через середины сторон — ось симметрииС пояснением
Пусть ABCD — прямоугольник, а M и N — середины его противоположных сторон AB и CD.1) Так как M и N — середины сторон, то AM = MB и DN = NC.
2) Прямая MN параллельна сторонам AD и BC, поэтому MN ⟂ AB и MN ⟂ CD.
3) Значит, MN является серединным перпендикуляром к отрезкам AB и CD. При симметрии относительно MN точка A переходит в B, а точка D — в C.
4) Следовательно, стороны AD и BC совмещаются, а части сторон AB и CD по разные стороны от MN также совмещаются. Поэтому весь прямоугольник совмещается сам с собой.Ответ: прямая MN является осью симметрии прямоугольника ABCD.
Кратко Пусть M и N — середины противоположных сторон AB и CD прямоугольника ABCD. Прямая MN перпендикулярна этим сторонам, причём AM = MB и DN = NC. Поэтому при отражении относительно MN точки A и B, а также D и C меняются местами. Прямоугольник совмещается сам с собой.Ответ: прямая MN является осью симметрии прямоугольника.
2) Прямая MN параллельна сторонам AD и BC, поэтому MN ⟂ AB и MN ⟂ CD.
3) Значит, MN является серединным перпендикуляром к отрезкам AB и CD. При симметрии относительно MN точка A переходит в B, а точка D — в C.
4) Следовательно, стороны AD и BC совмещаются, а части сторон AB и CD по разные стороны от MN также совмещаются. Поэтому весь прямоугольник совмещается сам с собой.Ответ: прямая MN является осью симметрии прямоугольника ABCD.
Кратко Пусть M и N — середины противоположных сторон AB и CD прямоугольника ABCD. Прямая MN перпендикулярна этим сторонам, причём AM = MB и DN = NC. Поэтому при отражении относительно MN точки A и B, а также D и C меняются местами. Прямоугольник совмещается сам с собой.Ответ: прямая MN является осью симметрии прямоугольника.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Точки С1 и С2 лежат по разные стороны от прямой АВ и расположены так, что АС1 = ВС2 и угол BAC1 = угол ABC2. Докажите, что прямая С1С2 проходит через середину отрезка АВ.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что прямая, проходящая через середины противоположных сторон прямоугольника, является его осью симметрии.
