Упр.327 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить равносторонний треугольник A₁B₁C₁С пояснением
1) Измерим циркулем отрезок B₁C.
2) На стороне BC отметим точку A₁ так, чтобы BA₁ = B₁C.
3) На стороне AB отметим точку C₁ так, чтобы AC₁ = B₁C.Докажем, что построенный треугольник равносторонний. Так как AB = BC = AC, то
CA₁ = BC − BA₁ = AC − B₁C = AB₁,
BC₁ = AB − AC₁ = AC − B₁C = AB₁.Треугольники CA₁B₁ и AB₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними: CA₁ = AB₁, CB₁ = AC₁, а углы C и A равны 60°. Поэтому A₁B₁ = B₁C₁.Аналогично треугольники AB₁C₁ и BC₁A₁ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому B₁C₁ = C₁A₁. Следовательно, A₁B₁ = B₁C₁ = C₁A₁.Ответ: нужно построить BA₁ = AC₁ = B₁C; тогда треугольник A₁B₁C₁ равносторонний.
Кратко 1) Раствором циркуля, равным B₁C, отложить на BC от точки B отрезок BA₁ = B₁C.
2) Тем же раствором отложить на AB от точки A отрезок AC₁ = B₁C.Ответ: полученные точки A₁ и C₁ образуют с B₁ равносторонний треугольник A₁B₁C₁.
2) На стороне BC отметим точку A₁ так, чтобы BA₁ = B₁C.
3) На стороне AB отметим точку C₁ так, чтобы AC₁ = B₁C.Докажем, что построенный треугольник равносторонний. Так как AB = BC = AC, то
CA₁ = BC − BA₁ = AC − B₁C = AB₁,
BC₁ = AB − AC₁ = AC − B₁C = AB₁.Треугольники CA₁B₁ и AB₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними: CA₁ = AB₁, CB₁ = AC₁, а углы C и A равны 60°. Поэтому A₁B₁ = B₁C₁.Аналогично треугольники AB₁C₁ и BC₁A₁ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому B₁C₁ = C₁A₁. Следовательно, A₁B₁ = B₁C₁ = C₁A₁.Ответ: нужно построить BA₁ = AC₁ = B₁C; тогда треугольник A₁B₁C₁ равносторонний.
Кратко 1) Раствором циркуля, равным B₁C, отложить на BC от точки B отрезок BA₁ = B₁C.
2) Тем же раствором отложить на AB от точки A отрезок AC₁ = B₁C.Ответ: полученные точки A₁ и C₁ образуют с B₁ равносторонний треугольник A₁B₁C₁.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что шесть точек лежат на одной прямойС пояснением
1) Возьмём любые две данные точки. На проходящей через них прямой l находится ещё одна данная точка. Пусть всего на l лежат k точек, тогда k ≥ 3.
2) Предположим, что одна из данных точек P не лежит на l. Проведём прямые из P через каждую из k точек прямой l.
3) На каждой из этих прямых по условию должна находиться ещё одна данная точка, не лежащая на l. Все эти дополнительные точки различны: иначе одна прямая проходила бы через P и две разные точки прямой l, а значит, совпадала бы с l, что невозможно, так как P ∉ l.
4) Тогда имеется не менее k точек на l, точка P и ещё k различных точек вне l. Всего не менее 2k + 1 ≥ 7 точек. Но по условию точек только шесть. Получили противоречие.
Следовательно, точки вне l нет.
Ответ: все шесть точек лежат на одной прямой.
Кратко Пусть на некоторой прямой l лежат k данных точек, где k ≥ 3. Если данная точка P не лежит на l, то каждая из k прямых, соединяющих P с точками прямой l, должна содержать ещё по одной различной данной точке вне l. Тогда данных точек не менее k + 1 + k = 2k + 1 ≥ 7, хотя их всего 6. Значит, точки P вне l быть не может.
Ответ: все шесть точек лежат на одной прямой.
2) Предположим, что одна из данных точек P не лежит на l. Проведём прямые из P через каждую из k точек прямой l.
3) На каждой из этих прямых по условию должна находиться ещё одна данная точка, не лежащая на l. Все эти дополнительные точки различны: иначе одна прямая проходила бы через P и две разные точки прямой l, а значит, совпадала бы с l, что невозможно, так как P ∉ l.
4) Тогда имеется не менее k точек на l, точка P и ещё k различных точек вне l. Всего не менее 2k + 1 ≥ 7 точек. Но по условию точек только шесть. Получили противоречие.
Следовательно, точки вне l нет.
Ответ: все шесть точек лежат на одной прямой.
Кратко Пусть на некоторой прямой l лежат k данных точек, где k ≥ 3. Если данная точка P не лежит на l, то каждая из k прямых, соединяющих P с точками прямой l, должна содержать ещё по одной различной данной точке вне l. Тогда данных точек не менее k + 1 + k = 2k + 1 ≥ 7, хотя их всего 6. Значит, точки P вне l быть не может.
Ответ: все шесть точек лежат на одной прямой.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Дан равносторонний треугольник ABC и точка B1 на стороне АС. На сторонах ВС и АВ постройте точки А1 и C1 так, чтобы треугольник А1В1С1 был равносторонним.
Задание учебника 2023 года
Даны шесть точек. Известно, что прямая, проходящая через любые две точки, содержит по крайней мере ещё одну из данных точек. Докажите, что все эти точки лежат на одной прямой.
