Упр.326 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить отрезок DE заданной длиныС пояснением
1) Из точки A проведём произвольный луч. Последовательно отложим на нём AP = AC, PQ = AB и QR = BC. Тогда AR = AC + AB + BC.
2) Соединим точки R и B. Через P проведём прямую, параллельную RB. Точку её пересечения со стороной AB обозначим D.
3) Через D проведём прямую, параллельную AC. Точку её пересечения со стороной BC обозначим E. Отрезок DE построен.
4) Так как PD ∥ RB, то AD/AB = AP/AR = AC/(AB + BC + AC).
5) Из DE ∥ AC следует, что треугольники BDE и BAC подобны. Поэтому
DE/AC = BD/BA = (AB + BC)/(AB + BC + AC).
Значит, DE = AC(AB + BC)/(AB + BC + AC).
6) Также
AD = AB·AC/(AB + BC + AC),
CE = BC·AC/(AB + BC + AC).
Следовательно,
AD + CE = AC(AB + BC)/(AB + BC + AC) = DE.
Ответ: искомый отрезок DE построен.
Кратко На произвольном луче из A последовательно отложите AP = AC, PQ = AB и QR = BC. Соедините R с B. Через P проведите прямую, параллельную RB, до пересечения с AB в точке D. Через D проведите DE ∥ AC, где E лежит на BC.
По пропорциональности отрезков получаем DE = AD + CE.
Ответ: отрезок DE построен.
2) Соединим точки R и B. Через P проведём прямую, параллельную RB. Точку её пересечения со стороной AB обозначим D.
3) Через D проведём прямую, параллельную AC. Точку её пересечения со стороной BC обозначим E. Отрезок DE построен.
4) Так как PD ∥ RB, то AD/AB = AP/AR = AC/(AB + BC + AC).
5) Из DE ∥ AC следует, что треугольники BDE и BAC подобны. Поэтому
DE/AC = BD/BA = (AB + BC)/(AB + BC + AC).
Значит, DE = AC(AB + BC)/(AB + BC + AC).
6) Также
AD = AB·AC/(AB + BC + AC),
CE = BC·AC/(AB + BC + AC).
Следовательно,
AD + CE = AC(AB + BC)/(AB + BC + AC) = DE.
Ответ: искомый отрезок DE построен.
Кратко На произвольном луче из A последовательно отложите AP = AC, PQ = AB и QR = BC. Соедините R с B. Через P проведите прямую, параллельную RB, до пересечения с AB в точке D. Через D проведите DE ∥ AC, где E лежит на BC.
По пропорциональности отрезков получаем DE = AD + CE.
Ответ: отрезок DE построен.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что шесть прямых проходят через одну точкуС пояснением
1) Возьмём любые две данные прямые. Пусть они пересекаются в точке O. По условию через O проходит ещё одна из данных прямых. Значит, через O проходят не менее трёх данных прямых.2) Предположим, что одна из остальных прямых a не проходит через O. Она пересекает три прямые, проходящие через O, в трёх различных точках A, B и C.3) Через каждую из точек A, B и C по условию должна проходить ещё одна данная прямая. Это не может быть ни прямая a, ни другая прямая, проходящая через O: две различные прямые не могут иметь две общие точки.4) Кроме трёх прямых через O и прямой a, остаются только две прямые. При этом одна из них не может проходить через две точки из A, B и C, иначе она совпала бы с прямой a. Поэтому для трёх точек понадобились бы три разные прямые, а осталось только две. Получили противоречие.Значит, прямой, не проходящей через O, нет.Ответ: все шесть прямых проходят через одну точку O.
Кратко Пусть три данные прямые проходят через точку O. Если другая прямая a не проходит через O, то она пересечёт их в трёх разных точках A, B и C. Через каждую из этих точек должна проходить ещё одна данная прямая, причём для A, B и C нужны три разные прямые. Но после выбора трёх прямых через O и прямой a остаются только две прямые. Противоречие.Ответ: все шесть прямых проходят через одну точку.
Кратко Пусть три данные прямые проходят через точку O. Если другая прямая a не проходит через O, то она пересечёт их в трёх разных точках A, B и C. Через каждую из этих точек должна проходить ещё одна данная прямая, причём для A, B и C нужны три разные прямые. Но после выбора трёх прямых через O и прямой a остаются только две прямые. Противоречие.Ответ: все шесть прямых проходят через одну точку.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Дан треугольник ABC. Постройте отрезок DE, параллельный прямой АС, так, чтобы точки D и Е лежали на сторонах АВ и ВС и DE = AD + СЕ.
Задание учебника 2023 года
Даны шесть попарно пересекающихся прямых. Известно, что через точку пересечения любых двух прямых проходит по крайней мере ещё одна из данных прямых. Докажите, что все эти прямые проходят через одну точку.
