Упр.282 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равноудалённость середины основания от боковых сторонС пояснением
Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием BC, AB = AC, а M — середина BC. Проведём MK ⟂ AB и ML ⟂ AC.1) Рассмотрим треугольники ABM и ACM. У них AB = AC, BM = CM, AM — общая сторона. Значит, треугольники равны по трём сторонам.
2) Поэтому ∠BAM = ∠MAC.
3) Прямоугольные треугольники AKM и ALM равны по гипотенузе AM и острому углу: ∠KAM = ∠MAL.
4) Следовательно, MK = ML. Эти отрезки являются расстояниями от точки M до боковых сторон AB и AC.Ответ: середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от его боковых сторон.
Кратко Пусть M — середина основания BC, MK ⟂ AB, ML ⟂ AC. Треугольники ABM и ACM равны по трём сторонам, поэтому ∠BAM = ∠MAC. Тогда прямоугольные треугольники AKM и ALM равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, MK = ML.Ответ: точка M равноудалена от боковых сторон AB и AC.
2) Поэтому ∠BAM = ∠MAC.
3) Прямоугольные треугольники AKM и ALM равны по гипотенузе AM и острому углу: ∠KAM = ∠MAL.
4) Следовательно, MK = ML. Эти отрезки являются расстояниями от точки M до боковых сторон AB и AC.Ответ: середина основания равнобедренного треугольника равноудалена от его боковых сторон.
Кратко Пусть M — середина основания BC, MK ⟂ AB, ML ⟂ AC. Треугольники ABM и ACM равны по трём сторонам, поэтому ∠BAM = ∠MAC. Тогда прямоугольные треугольники AKM и ALM равны по гипотенузе и острому углу, следовательно, MK = ML.Ответ: точка M равноудалена от боковых сторон AB и AC.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Докажите свойство середин отрезков между параллельными прямымиС пояснением
1) Проведём отрезок AB, перпендикулярный параллельным прямым a и b, где A ∈ a, B ∈ b. Пусть O — середина AB. Через O проведём прямую c, параллельную a и b.
2) Возьмём произвольные точки X ∈ a и Y ∈ b. Проведём XZ ⟂ a, где Z ∈ b. Тогда AB ∥ XZ и AX ∥ BZ, поэтому AB = XZ.
3) Пусть N — точка пересечения XZ и c. Четырёхугольник AONX — параллелограмм, поэтому XN = AO. Так как AO = AB : 2 и AB = XZ, точка N — середина XZ.
4) В треугольнике XYZ прямая c проходит через середину N стороны XZ и параллельна стороне ZY. Поэтому она пересекает сторону XY в её середине M.
5) Значит, середина любого отрезка XY лежит на прямой c. Эта прямая параллельна a и b. Так как O — середина общего перпендикуляра AB, прямая c равноудалена от a и b.
Ответ: все середины отрезков XY лежат на прямой c, параллельной a и b и равноудалённой от них.
Кратко Проведём AB ⟂ a, где A ∈ a, B ∈ b, и через середину O отрезка AB проведём c ∥ a. Для любого X ∈ a проведём XZ ⟂ a до пересечения с b. Прямая c пересекает XZ в его середине N. В треугольнике XYZ прямая через середину N стороны XZ, параллельная ZY, пересекает XY в его середине. Следовательно, середина каждого отрезка XY лежит на c. Поскольку O — середина общего перпендикуляра AB, прямая c равноудалена от a и b.
Ответ: середины всех отрезков XY лежат на прямой, параллельной a и b и равноудалённой от них.
2) Возьмём произвольные точки X ∈ a и Y ∈ b. Проведём XZ ⟂ a, где Z ∈ b. Тогда AB ∥ XZ и AX ∥ BZ, поэтому AB = XZ.
3) Пусть N — точка пересечения XZ и c. Четырёхугольник AONX — параллелограмм, поэтому XN = AO. Так как AO = AB : 2 и AB = XZ, точка N — середина XZ.
4) В треугольнике XYZ прямая c проходит через середину N стороны XZ и параллельна стороне ZY. Поэтому она пересекает сторону XY в её середине M.
5) Значит, середина любого отрезка XY лежит на прямой c. Эта прямая параллельна a и b. Так как O — середина общего перпендикуляра AB, прямая c равноудалена от a и b.
Ответ: все середины отрезков XY лежат на прямой c, параллельной a и b и равноудалённой от них.
Кратко Проведём AB ⟂ a, где A ∈ a, B ∈ b, и через середину O отрезка AB проведём c ∥ a. Для любого X ∈ a проведём XZ ⟂ a до пересечения с b. Прямая c пересекает XZ в его середине N. В треугольнике XYZ прямая через середину N стороны XZ, параллельная ZY, пересекает XY в его середине. Следовательно, середина каждого отрезка XY лежит на c. Поскольку O — середина общего перпендикуляра AB, прямая c равноудалена от a и b.
Ответ: середины всех отрезков XY лежат на прямой, параллельной a и b и равноудалённой от них.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина основания равноудалена от боковых сторон.
Задание учебника 2023 года
Прямые а и b параллельны. Докажите, что середины всех отрезков ХУ, где X принадлежит a, Y принадлежит b, лежат на прямой, параллельной прямым а и b и равноудалённой от этих прямых.
