Упр.191 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Разбор 1 Доказать, что прямые a и b параллельны
Доказать, что прямые a и b параллельныС пояснением
1) Углы 7 и 8 смежные, поэтому их сумма равна 180°:
∠8 = 180° − 143° = 37°.
2) Получили, что ∠1 = ∠8 = 37°.
3) Углы 1 и 8 — соответственные углы при прямых a и b и секущей c. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Ответ: a ∥ b.
Кратко ∠8 = 180° − ∠7 = 180° − 143° = 37°.
Значит, ∠1 = ∠8. Это соответственные углы, поэтому a ∥ b.
Ответ: a ∥ b.
∠8 = 180° − 143° = 37°.
2) Получили, что ∠1 = ∠8 = 37°.
3) Углы 1 и 8 — соответственные углы при прямых a и b и секущей c. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
Ответ: a ∥ b.
Кратко ∠8 = 180° − ∠7 = 180° − 143° = 37°.
Значит, ∠1 = ∠8. Это соответственные углы, поэтому a ∥ b.
Ответ: a ∥ b.
Разбор 2 Доказать параллельность прямых a и b
Доказать параллельность прямых a и bС пояснением
1) ∠1 = ∠3, так как это вертикальные углы.
2) По условию ∠1 = ∠6, поэтому ∠3 = ∠6.
3) Углы 3 и 6 — соответственные углы при пересечении прямых a и b секущей c. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.Ответ: a ∥ b.
Кратко ∠1 и ∠6 — накрест лежащие внешние углы при прямых a, b и секущей c. По условию они равны, следовательно, по признаку параллельности прямых a ∥ b.Ответ: a ∥ b.
2) По условию ∠1 = ∠6, поэтому ∠3 = ∠6.
3) Углы 3 и 6 — соответственные углы при пересечении прямых a и b секущей c. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.Ответ: a ∥ b.
Кратко ∠1 и ∠6 — накрест лежащие внешние углы при прямых a, b и секущей c. По условию они равны, следовательно, по признаку параллельности прямых a ∥ b.Ответ: a ∥ b.
Разбор 3 Докажите, что прямые a и b параллельны
Докажите, что прямые a и b параллельныС пояснением
1) ∠3 = ∠1 = 45°, так как углы 1 и 3 вертикальные.
2) ∠7 = 3 · ∠3 = 3 · 45° = 135°.
3) ∠6 = 180° − ∠7 = 180° − 135° = 45°, так как углы 6 и 7 смежные.
4) Получаем ∠3 = ∠6 = 45°. Эти углы соответственные при пересечении прямых a и b секущей c. Следовательно, a ∥ b.
Ответ: a ∥ b.
Кратко ∠3 = ∠1 = 45° — вертикальные углы.
∠7 = 3 · 45° = 135°.
∠6 = 180° − 135° = 45°.
Так как соответственные углы ∠3 и ∠6 равны, то a ∥ b.
Ответ: a ∥ b.
2) ∠7 = 3 · ∠3 = 3 · 45° = 135°.
3) ∠6 = 180° − ∠7 = 180° − 135° = 45°, так как углы 6 и 7 смежные.
4) Получаем ∠3 = ∠6 = 45°. Эти углы соответственные при пересечении прямых a и b секущей c. Следовательно, a ∥ b.
Ответ: a ∥ b.
Кратко ∠3 = ∠1 = 45° — вертикальные углы.
∠7 = 3 · 45° = 135°.
∠6 = 180° − 135° = 45°.
Так как соответственные углы ∠3 и ∠6 равны, то a ∥ b.
Ответ: a ∥ b.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать, что КМ ∥ АВС пояснением
1) Так как ВМ = МК, треугольник ВМК равнобедренный с основанием ВК. Поэтому ∠МВК = ∠ВКМ.
2) Точка М лежит на стороне ВС, значит ∠МВК = ∠СВК.
3) ВК — биссектриса угла АВС, поэтому ∠АВК = ∠СВК.
4) Следовательно, ∠АВК = ∠ВКМ. Эти углы являются накрест лежащими при прямых АВ и КМ и секущей ВК. Значит, АВ ∥ КМ.
Ответ: КМ ∥ АВ.
Кратко В треугольнике ВМК стороны ВМ и МК равны, поэтому ∠МВК = ∠ВКМ. Так как ВК — биссектриса и М лежит на ВС, то ∠АВК = ∠МВК. Следовательно, ∠АВК = ∠ВКМ, а значит, КМ ∥ АВ.
Ответ: КМ ∥ АВ.
2) Точка М лежит на стороне ВС, значит ∠МВК = ∠СВК.
3) ВК — биссектриса угла АВС, поэтому ∠АВК = ∠СВК.
4) Следовательно, ∠АВК = ∠ВКМ. Эти углы являются накрест лежащими при прямых АВ и КМ и секущей ВК. Значит, АВ ∥ КМ.
Ответ: КМ ∥ АВ.
Кратко В треугольнике ВМК стороны ВМ и МК равны, поэтому ∠МВК = ∠ВКМ. Так как ВК — биссектриса и М лежит на ВС, то ∠АВК = ∠МВК. Следовательно, ∠АВК = ∠ВКМ, а значит, КМ ∥ АВ.
Ответ: КМ ∥ АВ.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
На рисунке 106 прямые a и b пересечены прямой c. Докажите, что а || b, если:
а) угол 1 = 37°, угол 7 = 143°;
б) угол 1 = угол 6;
в) угол l = 45°, а угол 7 в три раза больше угла 3.
Задание учебника 2023 года
Отрезок ВК — биссектриса треугольника ABC. Через точку К проведена прямая, пересекающая сторону ВС в точке М так, что ВМ=МК. Докажите, что прямые КМ и АВ параллельны.
