Упр.181 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство треугольников по сторонам и медианамС пояснением
1) Продолжим медиану AM за точку M и отметим точку D так, чтобы MD = AM. Аналогично построим точку D₁, для которой M₁D₁ = A₁M₁.2) Так как M и M₁ — середины сторон BC и B₁C₁, то BM = CM и B₁M₁ = C₁M₁. Треугольники AMC и DMB равны по двум сторонам и углу между ними: AM = DM, CM = BM, углы AMC и DMB вертикальные. Поэтому AC = DB и ∠MAC = ∠BDA. Аналогично A₁C₁ = D₁B₁ и ∠M₁A₁C₁ = ∠B₁D₁A₁.3) AD = 2AM и A₁D₁ = 2A₁M₁, поэтому AD = A₁D₁. Кроме того, AB = A₁B₁, а DB = AC = A₁C₁ = D₁B₁. Следовательно, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по трём сторонам. Значит, ∠BAM = ∠B₁A₁M₁ и ∠BDA = ∠B₁D₁A₁.4) Отсюда ∠MAC = ∠M₁A₁C₁, поэтому ∠BAC = ∠B₁A₁C₁. В исходных треугольниках AB = A₁B₁, AC = A₁C₁ и равны углы между этими сторонами. Следовательно, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по двум сторонам и углу между ними.Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁.
Кратко Продолжим медианы до точек D и D₁ так, чтобы MD = AM и M₁D₁ = A₁M₁. По первому признаку △AMC = △DMB и △A₁M₁C₁ = △D₁M₁B₁, поэтому DB = AC и D₁B₁ = A₁C₁. Тогда △ABD = △A₁B₁D₁ по трём сторонам. Из равенства соответствующих углов получаем ∠BAC = ∠B₁A₁C₁. Значит, △ABC = △A₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними.Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁.
Кратко Продолжим медианы до точек D и D₁ так, чтобы MD = AM и M₁D₁ = A₁M₁. По первому признаку △AMC = △DMB и △A₁M₁C₁ = △D₁M₁B₁, поэтому DB = AC и D₁B₁ = A₁C₁. Тогда △ABD = △A₁B₁D₁ по трём сторонам. Из равенства соответствующих углов получаем ∠BAC = ∠B₁A₁C₁. Значит, △ABC = △A₁B₁C₁ по двум сторонам и углу между ними.Ответ: △ABC = △A₁B₁C₁.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить окружность радиуса r через две точкиС пояснением
Пусть даны точки A и B и радиус r.1) Построим окружность с центром A радиуса r.
2) Построим окружность с центром B того же радиуса r.
3) Обозначим точки их пересечения O₁ и O₂. Каждая из них может быть центром искомой окружности, так как O₁A = O₁B = r и O₂A = O₂B = r.
4) Проведём окружности радиуса r с центрами O₁ и O₂. Они проходят через точки A и B.Если AB < 2r, получатся две окружности; если AB = 2r — одна; если AB > 2r — построение невозможно.Ответ: центры искомых окружностей находятся в точках пересечения окружностей радиуса r с центрами A и B.
Кратко Пусть даны точки A, B и радиус r.
1) Проведём окружности радиуса r с центрами A и B.
2) Из каждой точки их пересечения проведём окружность радиуса r через A и B.Ответ: полученные окружности — искомые; при AB < 2r их две, при AB = 2r — одна, при AB > 2r построение невозможно.
2) Построим окружность с центром B того же радиуса r.
3) Обозначим точки их пересечения O₁ и O₂. Каждая из них может быть центром искомой окружности, так как O₁A = O₁B = r и O₂A = O₂B = r.
4) Проведём окружности радиуса r с центрами O₁ и O₂. Они проходят через точки A и B.Если AB < 2r, получатся две окружности; если AB = 2r — одна; если AB > 2r — построение невозможно.Ответ: центры искомых окружностей находятся в точках пересечения окружностей радиуса r с центрами A и B.
Кратко Пусть даны точки A, B и радиус r.
1) Проведём окружности радиуса r с центрами A и B.
2) Из каждой точки их пересечения проведём окружность радиуса r через A и B.Ответ: полученные окружности — искомые; при AB < 2r их две, при AB = 2r — одна, при AB > 2r построение невозможно.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 равны, если АВ = А1В1, АС = А1С1, AM = А1М1, где AM и А1М1 — медианы треугольников.
Задание учебника 2023 года
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через две данные точки.
