Упр.175 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство треугольников по биссектрисамС пояснением
1) Так как AD и A₁D₁ — биссектрисы и ∠A = ∠A₁, то ∠BAD = ∠B₁A₁D₁.2) В треугольниках ABD и A₁B₁D₁:
AB = A₁B₁, AD = A₁D₁, ∠BAD = ∠B₁A₁D₁. Поэтому △ABD = △A₁B₁D₁ по двум сторонам и углу между ними. Значит, BD = B₁D₁ и ∠ADB = ∠A₁D₁B₁.3) Углы ADC и A₁D₁C₁ смежные соответственно с равными углами ADB и A₁D₁B₁, поэтому ∠ADC = ∠A₁D₁C₁.4) Кроме того, ∠DAC = ∠D₁A₁C₁ как половины равных углов A и A₁. Следовательно, △ADC = △A₁D₁C₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁.5) Итак, у треугольников ABC и A₁B₁C₁ соответствующие стороны равны, следовательно, △ABC = △A₁B₁C₁.Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.
Кратко Так как AD и A₁D₁ — биссектрисы, то ∠BAD = ∠B₁A₁D₁. Поэтому △ABD = △A₁B₁D₁ по двум сторонам и углу между ними.Отсюда ∠ADB = ∠A₁D₁B₁, а значит, равны и смежные с ними углы ADC и A₁D₁C₁. Также ∠DAC = ∠D₁A₁C₁. Тогда △ADC = △A₁D₁C₁ по стороне и двум прилежащим углам.Следовательно, △ABC = △A₁B₁C₁.Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.
AB = A₁B₁, AD = A₁D₁, ∠BAD = ∠B₁A₁D₁. Поэтому △ABD = △A₁B₁D₁ по двум сторонам и углу между ними. Значит, BD = B₁D₁ и ∠ADB = ∠A₁D₁B₁.3) Углы ADC и A₁D₁C₁ смежные соответственно с равными углами ADB и A₁D₁B₁, поэтому ∠ADC = ∠A₁D₁C₁.4) Кроме того, ∠DAC = ∠D₁A₁C₁ как половины равных углов A и A₁. Следовательно, △ADC = △A₁D₁C₁ по стороне и двум прилежащим к ней углам. Поэтому AC = A₁C₁ и BC = B₁C₁.5) Итак, у треугольников ABC и A₁B₁C₁ соответствующие стороны равны, следовательно, △ABC = △A₁B₁C₁.Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.
Кратко Так как AD и A₁D₁ — биссектрисы, то ∠BAD = ∠B₁A₁D₁. Поэтому △ABD = △A₁B₁D₁ по двум сторонам и углу между ними.Отсюда ∠ADB = ∠A₁D₁B₁, а значит, равны и смежные с ними углы ADC и A₁D₁C₁. Также ∠DAC = ∠D₁A₁C₁. Тогда △ADC = △A₁D₁C₁ по стороне и двум прилежащим углам.Следовательно, △ABC = △A₁B₁C₁.Ответ: треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать и построить биссектрису угла XOYС пояснением
1) Так как точки расположены в порядке O—A—C и O—B—D, то
OC = OA + AC, OD = OB + BD.
Из OA = OB и AC = BD следует OC = OD.2) Треугольники OAD и OBC равны по двум сторонам и углу между ними:
OA = OB, OD = OC, ∠AOD = ∠BOC.
Значит, ∠OAD = ∠OBC.3) Углы CAE и OAD смежные, как и углы DBE и OBC. Поэтому ∠CAE = ∠DBE.
Кроме того, ∠AEC = ∠BED как вертикальные. Тогда равны и третьи углы треугольников ACE и BDE: ∠ACE = ∠BDE.4) Треугольники ACE и BDE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:
AC = BD, ∠CAE = ∠DBE, ∠ACE = ∠BDE.
Следовательно, AE = BE.5) Треугольники OAE и OBE равны по трём сторонам:
OA = OB, AE = BE, OE — общая сторона.
Поэтому ∠AOE = ∠EOB, то есть луч OE — биссектриса угла XOY.Построение:
1) На сторонах угла отложить равные отрезки OA и OB.
2) За точками A и B отложить равные отрезки AC и BD.
3) Провести отрезки AD и BC и отметить точку их пересечения E.
4) Провести луч OE. По доказанному этот луч является биссектрисой угла XOY.Ответ: OE — биссектриса угла XOY; для её построения нужно провести равные отрезки OA = OB, AC = BD, соединить A с D и B с C, а затем провести луч через O и точку пересечения AD и BC.
Кратко Так как OA = OB и AC = BD, то OC = OD. Поэтому треугольники OAD и OBC равны по двум сторонам и углу между ними, откуда ∠OAD = ∠OBC.Учитывая смежные и вертикальные углы, получаем равенство треугольников ACE и BDE, поэтому AE = BE. Тогда треугольники OAE и OBE равны по трём сторонам, следовательно, ∠AOE = ∠EOB.Построение: на сторонах угла отложить OA = OB, затем AC = BD; провести AD и BC. Если E — точка их пересечения, то провести луч OE.Ответ: луч OE — биссектриса угла XOY.
OC = OA + AC, OD = OB + BD.
Из OA = OB и AC = BD следует OC = OD.2) Треугольники OAD и OBC равны по двум сторонам и углу между ними:
OA = OB, OD = OC, ∠AOD = ∠BOC.
Значит, ∠OAD = ∠OBC.3) Углы CAE и OAD смежные, как и углы DBE и OBC. Поэтому ∠CAE = ∠DBE.
Кроме того, ∠AEC = ∠BED как вертикальные. Тогда равны и третьи углы треугольников ACE и BDE: ∠ACE = ∠BDE.4) Треугольники ACE и BDE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:
AC = BD, ∠CAE = ∠DBE, ∠ACE = ∠BDE.
Следовательно, AE = BE.5) Треугольники OAE и OBE равны по трём сторонам:
OA = OB, AE = BE, OE — общая сторона.
Поэтому ∠AOE = ∠EOB, то есть луч OE — биссектриса угла XOY.Построение:
1) На сторонах угла отложить равные отрезки OA и OB.
2) За точками A и B отложить равные отрезки AC и BD.
3) Провести отрезки AD и BC и отметить точку их пересечения E.
4) Провести луч OE. По доказанному этот луч является биссектрисой угла XOY.Ответ: OE — биссектриса угла XOY; для её построения нужно провести равные отрезки OA = OB, AC = BD, соединить A с D и B с C, а затем провести луч через O и точку пересечения AD и BC.
Кратко Так как OA = OB и AC = BD, то OC = OD. Поэтому треугольники OAD и OBC равны по двум сторонам и углу между ними, откуда ∠OAD = ∠OBC.Учитывая смежные и вертикальные углы, получаем равенство треугольников ACE и BDE, поэтому AE = BE. Тогда треугольники OAE и OBE равны по трём сторонам, следовательно, ∠AOE = ∠EOB.Построение: на сторонах угла отложить OA = OB, затем AC = BD; провести AD и BC. Если E — точка их пересечения, то провести луч OE.Ответ: луч OE — биссектриса угла XOY.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 равны, если АВ = А1В1, угол A = угол A1, AD = A1D1, где AD и A1D1 — биссектрисы треугольников.
Задание учебника 2023 года
На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что ОА = ОВ, AC = BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.
