Упр.180 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать и построить биссектрису угла XOYС пояснением
1) Так как точки расположены в порядке O—A—C и O—B—D, то
OC = OA + AC, OD = OB + BD.
Из OA = OB и AC = BD следует OC = OD.2) Треугольники OAD и OBC равны по двум сторонам и углу между ними:
OA = OB, OD = OC, ∠AOD = ∠BOC.
Значит, ∠OAD = ∠OBC.3) Углы CAE и OAD смежные, как и углы DBE и OBC. Поэтому ∠CAE = ∠DBE.
Кроме того, ∠AEC = ∠BED как вертикальные. Тогда равны и третьи углы треугольников ACE и BDE: ∠ACE = ∠BDE.4) Треугольники ACE и BDE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:
AC = BD, ∠CAE = ∠DBE, ∠ACE = ∠BDE.
Следовательно, AE = BE.5) Треугольники OAE и OBE равны по трём сторонам:
OA = OB, AE = BE, OE — общая сторона.
Поэтому ∠AOE = ∠EOB, то есть луч OE — биссектриса угла XOY.Построение:
1) На сторонах угла отложить равные отрезки OA и OB.
2) За точками A и B отложить равные отрезки AC и BD.
3) Провести отрезки AD и BC и отметить точку их пересечения E.
4) Провести луч OE. По доказанному этот луч является биссектрисой угла XOY.Ответ: OE — биссектриса угла XOY; для её построения нужно провести равные отрезки OA = OB, AC = BD, соединить A с D и B с C, а затем провести луч через O и точку пересечения AD и BC.
Кратко Так как OA = OB и AC = BD, то OC = OD. Поэтому треугольники OAD и OBC равны по двум сторонам и углу между ними, откуда ∠OAD = ∠OBC.Учитывая смежные и вертикальные углы, получаем равенство треугольников ACE и BDE, поэтому AE = BE. Тогда треугольники OAE и OBE равны по трём сторонам, следовательно, ∠AOE = ∠EOB.Построение: на сторонах угла отложить OA = OB, затем AC = BD; провести AD и BC. Если E — точка их пересечения, то провести луч OE.Ответ: луч OE — биссектриса угла XOY.
OC = OA + AC, OD = OB + BD.
Из OA = OB и AC = BD следует OC = OD.2) Треугольники OAD и OBC равны по двум сторонам и углу между ними:
OA = OB, OD = OC, ∠AOD = ∠BOC.
Значит, ∠OAD = ∠OBC.3) Углы CAE и OAD смежные, как и углы DBE и OBC. Поэтому ∠CAE = ∠DBE.
Кроме того, ∠AEC = ∠BED как вертикальные. Тогда равны и третьи углы треугольников ACE и BDE: ∠ACE = ∠BDE.4) Треугольники ACE и BDE равны по стороне и двум прилежащим к ней углам:
AC = BD, ∠CAE = ∠DBE, ∠ACE = ∠BDE.
Следовательно, AE = BE.5) Треугольники OAE и OBE равны по трём сторонам:
OA = OB, AE = BE, OE — общая сторона.
Поэтому ∠AOE = ∠EOB, то есть луч OE — биссектриса угла XOY.Построение:
1) На сторонах угла отложить равные отрезки OA и OB.
2) За точками A и B отложить равные отрезки AC и BD.
3) Провести отрезки AD и BC и отметить точку их пересечения E.
4) Провести луч OE. По доказанному этот луч является биссектрисой угла XOY.Ответ: OE — биссектриса угла XOY; для её построения нужно провести равные отрезки OA = OB, AC = BD, соединить A с D и B с C, а затем провести луч через O и точку пересечения AD и BC.
Кратко Так как OA = OB и AC = BD, то OC = OD. Поэтому треугольники OAD и OBC равны по двум сторонам и углу между ними, откуда ∠OAD = ∠OBC.Учитывая смежные и вертикальные углы, получаем равенство треугольников ACE и BDE, поэтому AE = BE. Тогда треугольники OAE и OBE равны по трём сторонам, следовательно, ∠AOE = ∠EOB.Построение: на сторонах угла отложить OA = OB, затем AC = BD; провести AD и BC. Если E — точка их пересечения, то провести луч OE.Ответ: луч OE — биссектриса угла XOY.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Построить окружность с центром на прямойС пояснением
Пусть A — данная точка, l — данная прямая, r — данный радиус.1) Проведём вспомогательную окружность с центром A и радиусом r.
2) Отметим точки её пересечения с прямой l. Каждая такая точка O удалена от A на расстояние r, поэтому может быть центром искомой окружности.
3) С центром O проведём окружность радиуса r. Она проходит через точку A, а её центр лежит на прямой l.Если точек пересечения две, получим две окружности; если одна — одну; если пересечений нет, построение невозможно.Ответ: искомые центры — точки пересечения прямой l с окружностью радиуса r с центром A.
Кратко Обозначим данную точку A, прямую l, радиус r.
1) Построим окружность с центром A и радиусом r.
2) Найдём точки O её пересечения с прямой l.
3) Из каждой точки O проведём окружность радиуса r.Ответ: построенные окружности проходят через A, а их центры лежат на прямой l.
2) Отметим точки её пересечения с прямой l. Каждая такая точка O удалена от A на расстояние r, поэтому может быть центром искомой окружности.
3) С центром O проведём окружность радиуса r. Она проходит через точку A, а её центр лежит на прямой l.Если точек пересечения две, получим две окружности; если одна — одну; если пересечений нет, построение невозможно.Ответ: искомые центры — точки пересечения прямой l с окружностью радиуса r с центром A.
Кратко Обозначим данную точку A, прямую l, радиус r.
1) Построим окружность с центром A и радиусом r.
2) Найдём точки O её пересечения с прямой l.
3) Из каждой точки O проведём окружность радиуса r.Ответ: построенные окружности проходят через A, а их центры лежат на прямой l.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
На сторонах угла XOY отмечены точки А, В, С и D так, что ОА = ОВ, AC = BD (рис. 97). Прямые AD и ВС пересекаются в точке Е. Докажите, что луч ОЕ — биссектриса угла XOY. Опишите способ построения биссектрисы угла, основанный на этом факте.
Задание учебника 2023 года
Постройте окружность данного радиуса, проходящую через данную точку, с центром на данной прямой.
