Упр.1330 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство MA·MB = MO² − R²С пояснением
Проведём OH перпендикулярно AB. Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам, поэтому AH = HB.Пусть A — ближайшая к M точка пересечения. Тогда
MA = MH − AH,
MB = MH + HB = MH + AH.1) MA·MB = (MH − AH)(MH + AH) = MH² − AH².
2) Из прямоугольного треугольника MOH:
MH² = MO² − OH².
3) Из прямоугольного треугольника AOH:
AH² = OA² − OH² = R² − OH².
4) Поэтому
MA·MB = (MO² − OH²) − (R² − OH²) = MO² − R².Ответ: MA·MB = MO² − R², что и требовалось доказать.
Кратко Проведём OH ⟂ AB. Тогда H — середина хорды AB, поэтому AH = HB.MA·MB = (MH − AH)(MH + AH) = MH² − AH².
По теореме Пифагора MH² = MO² − OH², а AH² = R² − OH². Следовательно,
MA·MB = MO² − R².Ответ: MA·MB = MO² − R².
MA = MH − AH,
MB = MH + HB = MH + AH.1) MA·MB = (MH − AH)(MH + AH) = MH² − AH².
2) Из прямоугольного треугольника MOH:
MH² = MO² − OH².
3) Из прямоугольного треугольника AOH:
AH² = OA² − OH² = R² − OH².
4) Поэтому
MA·MB = (MO² − OH²) − (R² − OH²) = MO² − R².Ответ: MA·MB = MO² − R², что и требовалось доказать.
Кратко Проведём OH ⟂ AB. Тогда H — середина хорды AB, поэтому AH = HB.MA·MB = (MH − AH)(MH + AH) = MH² − AH².
По теореме Пифагора MH² = MO² − OH², а AH² = R² − OH². Следовательно,
MA·MB = MO² − R².Ответ: MA·MB = MO² − R².
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Через точку М — внешнюю относительно окружности с центром О и радиусом R, проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В. Докажите, что MA·MB=MO^2-R^2.
