Упр.1331 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Доказать равенство MA·MB = R² − MO²С пояснением
1) Проведём OC ⟂ AB. Перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам, поэтому AC = BC.2) Пусть M лежит между C и B (в другом случае рассуждение аналогично). Тогда:
MA = AC + CM,
MB = BC − CM = AC − CM.
Следовательно,
MA·MB = (AC + CM)(AC − CM) = AC² − CM².3) Из прямоугольного треугольника AOC:
AC² = AO² − OC² = R² − OC².4) Из прямоугольного треугольника MOC:
MO² = OC² + CM².Поэтому
MA·MB = R² − OC² − CM² = R² − MO².Ответ: MA·MB = R² − MO², что и требовалось доказать.
Кратко Проведём OC ⟂ AB. Тогда C — середина хорды AB. Пусть M лежит между C и B. Получаем:
MA·MB = (AC + CM)(AC − CM) = AC² − CM².
По теореме Пифагора AC² = R² − OC², а MO² = OC² + CM². Значит,
MA·MB = R² − OC² − CM² = R² − MO².Ответ: MA·MB = R² − MO².
MA = AC + CM,
MB = BC − CM = AC − CM.
Следовательно,
MA·MB = (AC + CM)(AC − CM) = AC² − CM².3) Из прямоугольного треугольника AOC:
AC² = AO² − OC² = R² − OC².4) Из прямоугольного треугольника MOC:
MO² = OC² + CM².Поэтому
MA·MB = R² − OC² − CM² = R² − MO².Ответ: MA·MB = R² − MO², что и требовалось доказать.
Кратко Проведём OC ⟂ AB. Тогда C — середина хорды AB. Пусть M лежит между C и B. Получаем:
MA·MB = (AC + CM)(AC − CM) = AC² − CM².
По теореме Пифагора AC² = R² − OC², а MO² = OC² + CM². Значит,
MA·MB = R² − OC² − CM² = R² − MO².Ответ: MA·MB = R² − MO².
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Через точку М — внутреннюю относительно окружности с центром О и радиусом R, проходит хорда АВ. Докажите, что MA·MB=R^2-MO^2.
