Упр.1307 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Разбор 1 Доказать, что F₁ — квадрат
Доказать, что F₁ — квадратС пояснением
1) Так как многоугольники F и F₁ подобны, их соответствующие углы равны. Все углы квадрата F равны 90°, значит, все углы F₁ также равны 90°.
2) Соответствующие стороны подобных многоугольников пропорциональны. Если коэффициент подобия равен k, то каждая сторона F₁ равна ka, поскольку все стороны квадрата F равны a. Следовательно, все стороны F₁ равны.
3) Четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, является квадратом.
Ответ: многоугольник F₁ — квадрат.
Кратко У подобных многоугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому все углы F₁ равны 90°, а все его стороны равны ka, где k — коэффициент подобия. Значит, F₁ — квадрат.
Ответ: F₁ — квадрат.
2) Соответствующие стороны подобных многоугольников пропорциональны. Если коэффициент подобия равен k, то каждая сторона F₁ равна ka, поскольку все стороны квадрата F равны a. Следовательно, все стороны F₁ равны.
3) Четырёхугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые, является квадратом.
Ответ: многоугольник F₁ — квадрат.
Кратко У подобных многоугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Поэтому все углы F₁ равны 90°, а все его стороны равны ka, где k — коэффициент подобия. Значит, F₁ — квадрат.
Ответ: F₁ — квадрат.
Разбор 2 Найти площадь многоугольника F₁
Найти площадь многоугольника F₁С пояснением
1) ak — длина стороны многоугольника F₁, так как соответствующие стороны подобных многоугольников относятся с коэффициентом k.
2) (ak)² = a²k² — площадь многоугольника F₁.
Ответ: a²k².
Кратко S(F₁) = k²S(F) = k²a².
Ответ: a²k².
2) (ak)² = a²k² — площадь многоугольника F₁.
Ответ: a²k².
Кратко S(F₁) = k²S(F) = k²a².
Ответ: a²k².
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать возможность протащить куб через равный кубС пояснением
Пусть ребро каждого куба равно a.1) Рассмотрим направление пространственной диагонали первого куба. Его проекция на плоскость, перпендикулярную этой диагонали, является правильным шестиугольником.2) Расстояние между противоположными сторонами этого шестиугольника равно a√2. Поэтому радиус вписанной в него окружности равен a√2/2.3) Повернём второй куб так, чтобы одно его ребро было параллельно выбранной пространственной диагонали первого куба. Тогда проекцией второго куба на ту же плоскость будет квадрат со стороной a. Радиус окружности, описанной около этого квадрата, равен половине его диагонали:
a√2/2.4) Значит, квадрат-проекция второго куба помещается во вписанной окружности шестиугольника, а следовательно, и внутри проекции первого куба.5) В первом кубе вырежем вдоль его пространственной диагонали сквозное отверстие в виде прямой призмы, поперечным сечением которой служит этот квадрат. Если перемещать второй куб в направлении его ребра, параллельного диагонали первого куба, его проекция всё время совпадает с квадратным сечением отверстия. Поэтому второй куб пройдёт через отверстие.Ответ: в кубе можно вырезать вдоль пространственной диагонали квадратное сквозное отверстие и протащить через него куб с таким же ребром.
Кратко Пусть ребро куба равно a. Проекция куба вдоль его пространственной диагонали — правильный шестиугольник с радиусом вписанной окружности a√2/2. Повернём второй куб так, чтобы одно его ребро было параллельно этой диагонали. Его проекция будет квадратом со стороной a и радиусом описанной окружности a√2/2. Значит, квадрат помещается в шестиугольнике. Вырезав вдоль диагонали отверстие с таким квадратным сечением, через него можно протащить равный куб.Ответ: протащить куб таких же размеров можно.
a√2/2.4) Значит, квадрат-проекция второго куба помещается во вписанной окружности шестиугольника, а следовательно, и внутри проекции первого куба.5) В первом кубе вырежем вдоль его пространственной диагонали сквозное отверстие в виде прямой призмы, поперечным сечением которой служит этот квадрат. Если перемещать второй куб в направлении его ребра, параллельного диагонали первого куба, его проекция всё время совпадает с квадратным сечением отверстия. Поэтому второй куб пройдёт через отверстие.Ответ: в кубе можно вырезать вдоль пространственной диагонали квадратное сквозное отверстие и протащить через него куб с таким же ребром.
Кратко Пусть ребро куба равно a. Проекция куба вдоль его пространственной диагонали — правильный шестиугольник с радиусом вписанной окружности a√2/2. Повернём второй куб так, чтобы одно его ребро было параллельно этой диагонали. Его проекция будет квадратом со стороной a и радиусом описанной окружности a√2/2. Значит, квадрат помещается в шестиугольнике. Вырезав вдоль диагонали отверстие с таким квадратным сечением, через него можно протащить равный куб.Ответ: протащить куб таких же размеров можно.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Длина стороны квадрата F равна а. Построен многоугольник F_1, подобный многоугольнику F. а) Докажите, что многоугольник F — квадрат, б) Найдите площадь многоугольника F_1, если коэффициент подобия многоугольников F и F_1 равен k.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что в кубе можно вырезать сквозное отверстие, через которое можно протащить куб таких же размеров.
