Упр.1309 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Построить образы точек при двух гомотетияхС пояснением
1) Для коэффициента k = 2 проведём лучи OA, OB, OC и OD. На них отметим точки A₁, B₁, C₁, D₁ так, чтобы:
OA₁ = 2OA, OB₁ = 2OB, OC₁ = 2OC, OD₁ = 2OD.
Так как коэффициент положительный, каждая точка-образ лежит на том же луче, что и исходная точка.2) Для коэффициента k = −3 проведём лучи, противоположные лучам OA, OB, OC и OD. На них отметим соответственно точки A₁, B₁, C₁, D₁ так, чтобы:
OA₁ = 3OA, OB₁ = 3OB, OC₁ = 3OC, OD₁ = 3OD.
Знак «−» показывает, что точки-образы находятся по другую сторону от центра O.Ответ: при k = 2 образы лежат на соответствующих лучах на удвоенном расстоянии от O; при k = −3 — на противоположных лучах на утроенном расстоянии от O.
Кратко а) На лучах OA, OB, OC, OD отметить точки A₁, B₁, C₁, D₁, для которых OA₁ = 2OA, OB₁ = 2OB, OC₁ = 2OC, OD₁ = 2OD.б) На лучах, противоположных лучам OA, OB, OC, OD, отметить точки A₁, B₁, C₁, D₁, для которых OA₁ = 3OA, OB₁ = 3OB, OC₁ = 3OC, OD₁ = 3OD.Ответ: при k = 2 расстояния от O удваиваются, а при k = −3 — утраиваются и точки переходят на противоположные лучи.
OA₁ = 2OA, OB₁ = 2OB, OC₁ = 2OC, OD₁ = 2OD.
Так как коэффициент положительный, каждая точка-образ лежит на том же луче, что и исходная точка.2) Для коэффициента k = −3 проведём лучи, противоположные лучам OA, OB, OC и OD. На них отметим соответственно точки A₁, B₁, C₁, D₁ так, чтобы:
OA₁ = 3OA, OB₁ = 3OB, OC₁ = 3OC, OD₁ = 3OD.
Знак «−» показывает, что точки-образы находятся по другую сторону от центра O.Ответ: при k = 2 образы лежат на соответствующих лучах на удвоенном расстоянии от O; при k = −3 — на противоположных лучах на утроенном расстоянии от O.
Кратко а) На лучах OA, OB, OC, OD отметить точки A₁, B₁, C₁, D₁, для которых OA₁ = 2OA, OB₁ = 2OB, OC₁ = 2OC, OD₁ = 2OD.б) На лучах, противоположных лучам OA, OB, OC, OD, отметить точки A₁, B₁, C₁, D₁, для которых OA₁ = 3OA, OB₁ = 3OB, OC₁ = 3OC, OD₁ = 3OD.Ответ: при k = 2 расстояния от O удваиваются, а при k = −3 — утраиваются и точки переходят на противоположные лучи.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Доказать равенство объёмов частей тетраэдраС пояснением
Пусть дан тетраэдр ABCD, M — середина ребра CD. Проведём плоскость ABM.1) Эта плоскость разделяет тетраэдр на два тетраэдра: ABCM и ABDM.
2) Треугольники ACM и ADM лежат в одной плоскости. Их основания CM и DM равны, а высота, проведённая из A к прямой CD, общая. Поэтому площади этих треугольников равны:
SACM = SADM.
3) Если считать треугольники ACM и ADM основаниями тетраэдров ABCM и ABDM, то их высота общая — это расстояние от точки B до плоскости ACD.
4) Тетраэдры с равными площадями оснований и равными высотами имеют равные объёмы. Следовательно,
VABCM = VABDM.Ответ: плоскость ABM разделяет тетраэдр на две равновеликие части.
Кратко Пусть M — середина противоположного ребра CD. Плоскость ABM делит тетраэдр ABCD на тетраэдры ABCM и ABDM. Треугольники ACM и ADM имеют равные основания CM = DM и общую высоту из A, поэтому их площади равны. Высота обоих тетраэдров из B к плоскости ACD одинакова, значит,
VABCM = VABDM.Ответ: объёмы полученных частей равны.
2) Треугольники ACM и ADM лежат в одной плоскости. Их основания CM и DM равны, а высота, проведённая из A к прямой CD, общая. Поэтому площади этих треугольников равны:
SACM = SADM.
3) Если считать треугольники ACM и ADM основаниями тетраэдров ABCM и ABDM, то их высота общая — это расстояние от точки B до плоскости ACD.
4) Тетраэдры с равными площадями оснований и равными высотами имеют равные объёмы. Следовательно,
VABCM = VABDM.Ответ: плоскость ABM разделяет тетраэдр на две равновеликие части.
Кратко Пусть M — середина противоположного ребра CD. Плоскость ABM делит тетраэдр ABCD на тетраэдры ABCM и ABDM. Треугольники ACM и ADM имеют равные основания CM = DM и общую высоту из A, поэтому их площади равны. Высота обоих тетраэдров из B к плоскости ACD одинакова, значит,
VABCM = VABDM.Ответ: объёмы полученных частей равны.
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
Отметьте пять точек и обозначьте их буквами О, А, В, С, D. а) Постройте точки A_1, B_1, C_1, D_1 так, чтобы при гомотетии с центром в точке О и коэффициентом 2 точки А, В, С и D перешли соответственно в точки A_1, B_1, C_1, D_1; б) выполните предыдущее задание для гомотетии с центром в точке О и коэффициентом k=-3.
Задание учебника 2023 года
Докажите, что плоскость, проходящая через ребро и середину противоположного ребра тетраэдра, разделяет его на две части, объёмы которых равны.
