Упр.1117 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Решение #1(Учебник 2025)
Решение #2 (Учебник 2025)ИИ
Найдите углы BDC и DBCС пояснением
1) Опустим из точки D перпендикуляр DH на прямую AB. Тогда
DH = AD · sin ∠A = 71/3 · sin 22°30′ ≈ 23,67 · 0,3827 ≈ 9,06 (м).2) Наклонный отрезок DB должен быть длиннее перпендикуляра DH, проведённого из той же точки к прямой AB. Но по условию DB = 4,4 м, то есть DB < DH.Получили противоречие, поэтому параллелограмма с такими данными не существует.Ответ: углы BDC и DBC определить невозможно.
Кратко DH = 71/3 · sin 22°30′ ≈ 9,06 (м).
Но BD = 4,4 м < DH, хотя наклонная BD должна быть длиннее перпендикуляра DH.Ответ: такого параллелограмма не существует.
DH = AD · sin ∠A = 71/3 · sin 22°30′ ≈ 23,67 · 0,3827 ≈ 9,06 (м).2) Наклонный отрезок DB должен быть длиннее перпендикуляра DH, проведённого из той же точки к прямой AB. Но по условию DB = 4,4 м, то есть DB < DH.Получили противоречие, поэтому параллелограмма с такими данными не существует.Ответ: углы BDC и DBC определить невозможно.
Кратко DH = 71/3 · sin 22°30′ ≈ 9,06 (м).
Но BD = 4,4 м < DH, хотя наклонная BD должна быть длиннее перпендикуляра DH.Ответ: такого параллелограмма не существует.
Решение #3(Учебник 2023)
Решение #4 (Учебник 2023)ИИ
Разбор 1 Найти площадь вписанного круга
Найти площадь вписанного кругаС пояснением
1) h = a√3/2 — высота равностороннего треугольника.
2) r = h/3 = a√3/6 — радиус вписанного круга.
3) S = πr² = π(a√3/6)² = πa²/12.
Ответ: πa²/12.
Кратко r = a√3/6;
S = πr² = πa²/12.
Ответ: πa²/12.
2) r = h/3 = a√3/6 — радиус вписанного круга.
3) S = πr² = π(a√3/6)² = πa²/12.
Ответ: πa²/12.
Кратко r = a√3/6;
S = πr² = πa²/12.
Ответ: πa²/12.
Разбор 2 Найти площадь вписанного круга
Найти площадь вписанного кругаС пояснением
Обозначим данный катет через a, а прилежащий к нему острый угол — через α.1) a tg α — длина второго катета.2) a/cos α — длина гипотенузы.3) Радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник:
r = (a + a tg α − a/cos α)/2 = a(sin α + cos α − 1)/(2 cos α).4) Площадь круга:
S = πr² = πa²(sin α + cos α − 1)²/(4cos² α).Ответ: S = πa²(sin α + cos α − 1)²/(4cos² α).
Кратко Пусть α — данный острый угол.r = (a + a tg α − a/cos α)/2 = a(sin α + cos α − 1)/(2cos α),S = πr² = πa²(sin α + cos α − 1)²/(4cos² α).Ответ: πa²(sin α + cos α − 1)²/(4cos² α).
r = (a + a tg α − a/cos α)/2 = a(sin α + cos α − 1)/(2 cos α).4) Площадь круга:
S = πr² = πa²(sin α + cos α − 1)²/(4cos² α).Ответ: S = πa²(sin α + cos α − 1)²/(4cos² α).
Кратко Пусть α — данный острый угол.r = (a + a tg α − a/cos α)/2 = a(sin α + cos α − 1)/(2cos α),S = πr² = πa²(sin α + cos α − 1)²/(4cos² α).Ответ: πa²(sin α + cos α − 1)²/(4cos² α).
Разбор 3 Найти площадь вписанного круга
Найти площадь вписанного кругаС пояснением
Пусть α — угол, противолежащий основанию треугольника.1) Проведём высоту к основанию. Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника:
h = a cos(α/2),
b = 2a sin(α/2).2) Найдём площадь треугольника:
S△ = bh/2 = a² sin(α/2) cos(α/2).3) Полупериметр треугольника:
p = (2a + b)/2 = a(1 + sin(α/2)).4) Так как S△ = pr, радиус вписанного круга равен:
r = S△/p = a sin(α/2) cos(α/2) / (1 + sin(α/2)).5) Площадь круга:
Sкруга = πr² = πa²(sin(α/2) cos(α/2) / (1 + sin(α/2)))².Ответ: πa²(sin(α/2) cos(α/2) / (1 + sin(α/2)))².
Кратко 1) r = a sin(α/2) cos(α/2) / (1 + sin(α/2)).
2) Sкруга = πr² = πa²(sin(α/2) cos(α/2) / (1 + sin(α/2)))².Ответ: πa²(sin(α/2) cos(α/2) / (1 + sin(α/2)))².
h = a cos(α/2),
b = 2a sin(α/2).2) Найдём площадь треугольника:
S△ = bh/2 = a² sin(α/2) cos(α/2).3) Полупериметр треугольника:
p = (2a + b)/2 = a(1 + sin(α/2)).4) Так как S△ = pr, радиус вписанного круга равен:
r = S△/p = a sin(α/2) cos(α/2) / (1 + sin(α/2)).5) Площадь круга:
Sкруга = πr² = πa²(sin(α/2) cos(α/2) / (1 + sin(α/2)))².Ответ: πa²(sin(α/2) cos(α/2) / (1 + sin(α/2)))².
Кратко 1) r = a sin(α/2) cos(α/2) / (1 + sin(α/2)).
2) Sкруга = πr² = πa²(sin(α/2) cos(α/2) / (1 + sin(α/2)))².Ответ: πa²(sin(α/2) cos(α/2) / (1 + sin(α/2)))².
Разбор 4 Найти площадь вписанного круга
Найти площадь вписанного кругаС пояснением
Обозначим радиус вписанного круга через r, а меньшее основание трапеции — через b. Высота трапеции равна диаметру круга: h = 2r.1) Боковая сторона трапеции:
l = h/sin α = 2r/sin α.2) Проекция каждой боковой стороны на большее основание равна h·ctg α = 2r·ctg α, поэтому
b = a − 4r·ctg α.3) В четырёхугольнике, в который вписан круг, суммы длин противоположных сторон равны:
a + b = 2l.
Подставим найденные выражения:
a + a − 4r·ctg α = 4r/sin α,
2a = 4r(ctg α + 1/sin α),
r = a sin α / (2(1 + cos α)).4) Площадь круга:
S = πr² = πa²sin²α / (4(1 + cos α)²).Ответ: S = πa²sin²α / (4(1 + cos α)²).
Кратко Пусть r — радиус вписанного круга. Тогда высота трапеции равна 2r. Из свойства описанного четырёхугольника получаем
r = a sin α / (2(1 + cos α)).S = πr² = πa²sin²α / (4(1 + cos α)²).Ответ: πa²sin²α / (4(1 + cos α)²).
l = h/sin α = 2r/sin α.2) Проекция каждой боковой стороны на большее основание равна h·ctg α = 2r·ctg α, поэтому
b = a − 4r·ctg α.3) В четырёхугольнике, в который вписан круг, суммы длин противоположных сторон равны:
a + b = 2l.
Подставим найденные выражения:
a + a − 4r·ctg α = 4r/sin α,
2a = 4r(ctg α + 1/sin α),
r = a sin α / (2(1 + cos α)).4) Площадь круга:
S = πr² = πa²sin²α / (4(1 + cos α)²).Ответ: S = πa²sin²α / (4(1 + cos α)²).
Кратко Пусть r — радиус вписанного круга. Тогда высота трапеции равна 2r. Из свойства описанного четырёхугольника получаем
r = a sin α / (2(1 + cos α)).S = πr² = πa²sin²α / (4(1 + cos α)²).Ответ: πa²sin²α / (4(1 + cos α)²).
Рассмотрим вариант решения задания из учебника
Атанасян, Бутузов 7-9 класс, Просвещение:
Задание учебника 2025 года
В параллелограмме ABCD AD = 71/3м, BD = 4,4 м, ZA = 22°30'. Найдите угол BDC и угол DBC.
Задание учебника 2023 года
Найдите площадь круга, вписанного: а) в равносторонний треугольник со стороной а; б) в прямоугольный треугольник с катетом а и прилежащим к нему острым углом а; в) в равнобедренный треугольник с боковой стороной а и углом а, противолежащим основанию; г) в равнобедренную трапецию с большим основанием а и острым углом а.
